Theorem norm-iii 5087

Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
norm-iii.1	⊢ A ∈ ℂ
norm-iii.2	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm-iii	⊢ (norm ‘(A ·s B)) = ((abs ‘A) · (norm ‘B))

Proof of Theorem norm-iii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm-iii.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℂ
2		norm-iii.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ ℋ
3		his5 5050	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (B ·i (A ·s B)) = ((∗ ‘A) · (B ·i B)))
4	1, 2, 2, 3	mp3an 642	. . . . . 6 ⊢ (B ·i (A ·s B)) = ((∗ ‘A) · (B ·i B))
5	4	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (A · (B ·i (A ·s B))) = (A · ((∗ ‘A) · (B ·i B)))
6	1, 2	hvmulcl 4990	. . . . . 6 ⊢ (A ·s B) ∈ ℋ
7		ax-his3 5047	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℋ ∧ (A ·s B) ∈ ℋ ) → ((A ·s B) ·i (A ·s B)) = (A · (B ·i (A ·s B))))
8	1, 2, 6, 7	mp3an 642	. . . . 5 ⊢ ((A ·s B) ·i (A ·s B)) = (A · (B ·i (A ·s B)))
9	1	cjcl 4804	. . . . . 6 ⊢ (∗ ‘A) ∈ ℂ
10	2, 2	hicl 5044	. . . . . 6 ⊢ (B ·i B) ∈ ℂ
11	1, 9, 10	mulass 4109	. . . . 5 ⊢ ((A · (∗ ‘A)) · (B ·i B)) = (A · ((∗ ‘A) · (B ·i B)))
12	5, 8, 11	3eqtr4 1126	. . . 4 ⊢ ((A ·s B) ·i (A ·s B)) = ((A · (∗ ‘A)) · (B ·i B))
13	12	fveq2i 2835	. . 3 ⊢ (√ ‘((A ·s B) ·i (A ·s B))) = (√ ‘((A · (∗ ‘A)) · (B ·i B)))
14	1	cjmulrcl 4821	. . . 4 ⊢ (A · (∗ ‘A)) ∈ ℝ
15		hiidrclt 5053	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℋ → (B ·i B) ∈ ℝ)
16	2, 15	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (B ·i B) ∈ ℝ
17	1	cjmulge0 4823	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (A · (∗ ‘A))
18		hiidge0t 5056	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℋ → 0 ≤ (B ·i B))
19	2, 18	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (B ·i B)
20	14, 16, 17, 19	sqrmuli 4762	. . 3 ⊢ (√ ‘((A · (∗ ‘A)) · (B ·i B))) = ((√ ‘(A · (∗ ‘A))) · (√ ‘(B ·i B)))
21	13, 20	eqtr 1119	. 2 ⊢ (√ ‘((A ·s B) ·i (A ·s B))) = ((√ ‘(A · (∗ ‘A))) · (√ ‘(B ·i B)))
22		normvalt 5075	. . 3 ⊢ ((A ·s B) ∈ ℋ → (norm ‘(A ·s B)) = (√ ‘((A ·s B) ·i (A ·s B))))
23	6, 22	ax-mp 6	. 2 ⊢ (norm ‘(A ·s B)) = (√ ‘((A ·s B) ·i (A ·s B)))
24		absvalt 4801	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (abs ‘A) = (√ ‘(A · (∗ ‘A))))
25	1, 24	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (abs ‘A) = (√ ‘(A · (∗ ‘A)))
26		normvalt 5075	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℋ → (norm ‘B) = (√ ‘(B ·i B)))
27	2, 26	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (norm ‘B) = (√ ‘(B ·i B))
28	25, 27	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((abs ‘A) · (norm ‘B)) = ((√ ‘(A · (∗ ‘A))) · (√ ‘(B ·i B)))
29	21, 23, 28	3eqtr4 1126	1 ⊢ (norm ‘(A ·s B)) = ((abs ‘A) · (norm ‘B))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028   · cmulc 4032   ≤ cle 4092  √csqr 4727  ∗ccj 4788  abscabs 4789   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960   ·_i csp 4963  normcno 4964

This theorem is referenced by:  norm-iiit 5088  normsub 5089  normpar2 5100  projlem18 5210

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hnorm 5074

metamath.org