Theorem norm3dif 5094

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101.

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ A ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ B ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ C ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3dif	⊢ (norm ‘(A −v B)) ≤ ((norm ‘(A −v C)) + (norm ‘(C −v B)))

Proof of Theorem norm3dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℋ
2		1cn 4101	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	2	negcl 4142	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		norm3dif.3	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ ℋ
5	3, 4	hvmulcl 4990	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·s C) ∈ ℋ
6		norm3dif.2	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ ℋ
7	3, 6	hvmulcl 4990	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ·s B) ∈ ℋ
8	4, 7	hvaddcl 4999	. . . . . 6 ⊢ (C +v (-1 ·s B)) ∈ ℋ
9	1, 5, 8	hvass 5025	. . . . 5 ⊢ ((A +v (-1 ·s C)) +v (C +v (-1 ·s B))) = (A +v ((-1 ·s C) +v (C +v (-1 ·s B))))
10	5, 4, 7	hvass 5025	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·s C) +v C) +v (-1 ·s B)) = ((-1 ·s C) +v (C +v (-1 ·s B)))
11	5, 4	hvcom 5000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ·s C) +v C) = (C +v (-1 ·s C))
12	4, 4	hvsubval 5001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (C −v C) = (C +v (-1 ·s C))
13	11, 12	eqtr4 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ·s C) +v C) = (C −v C)
14		hvsubidt 5005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (C ∈ ℋ → (C −v C) = 0v)
15	4, 14	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (C −v C) = 0v
16	13, 15	eqtr 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ·s C) +v C) = 0v
17	16	opreq1i 3009	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ·s C) +v C) +v (-1 ·s B)) = (0v +v (-1 ·s B))
18		ax-hvzercl 4987	. . . . . . . . 9 ⊢ 0v ∈ ℋ
19	18, 7	hvcom 5000	. . . . . . . 8 ⊢ (0v +v (-1 ·s B)) = ((-1 ·s B) +v 0v)
20		ax-hvaddid 4988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ·s B) ∈ ℋ → ((-1 ·s B) +v 0v) = (-1 ·s B))
21	7, 20	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ·s B) +v 0v) = (-1 ·s B)
22	17, 19, 21	3eqtr 1123	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·s C) +v C) +v (-1 ·s B)) = (-1 ·s B)
23	10, 22	eqtr3 1121	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ·s C) +v (C +v (-1 ·s B))) = (-1 ·s B)
24	23	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (A +v ((-1 ·s C) +v (C +v (-1 ·s B)))) = (A +v (-1 ·s B))
25	9, 24	eqtr2 1120	. . . 4 ⊢ (A +v (-1 ·s B)) = ((A +v (-1 ·s C)) +v (C +v (-1 ·s B)))
26	1, 6	hvsubval 5001	. . . 4 ⊢ (A −v B) = (A +v (-1 ·s B))
27	1, 4	hvsubval 5001	. . . . 5 ⊢ (A −v C) = (A +v (-1 ·s C))
28	4, 6	hvsubval 5001	. . . . 5 ⊢ (C −v B) = (C +v (-1 ·s B))
29	27, 28	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ ((A −v C) +v (C −v B)) = ((A +v (-1 ·s C)) +v (C +v (-1 ·s B)))
30	25, 26, 29	3eqtr4 1126	. . 3 ⊢ (A −v B) = ((A −v C) +v (C −v B))
31	30	fveq2i 2835	. 2 ⊢ (norm ‘(A −v B)) = (norm ‘((A −v C) +v (C −v B)))
32	1, 4	hvsubcl 5002	. . 3 ⊢ (A −v C) ∈ ℋ
33	4, 6	hvsubcl 5002	. . 3 ⊢ (C −v B) ∈ ℋ
34	32, 33	norm-ii 5086	. 2 ⊢ (norm ‘((A −v C) +v (C −v B))) ≤ ((norm ‘(A −v C)) + (norm ‘(C −v B)))
35	31, 34	eqbrtr 2076	1 ⊢ (norm ‘(A −v B)) ≤ ((norm ‘(A −v C)) + (norm ‘(C −v B)))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  1c1 4029   + caddc 4031  -cneg 4090   ≤ cle 4092   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962  normcno 4964

This theorem is referenced by:  norm3adif 5095  norm3lem 5096

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074

metamath.org