Theorem norm3lemt 5097

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
norm3lemt	⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℝ)) → (((norm ‘(A −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v B)) < (D / 2)) → (norm ‘(A −v B)) < D))

Proof of Theorem norm3lemt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (A −v C) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C))
2	1	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (norm ‘(A −v C)) = (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)))
3	2	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((norm ‘(A −v C)) < (D / 2) ↔ (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2)))
4	3	anbi1d 469	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (((norm ‘(A −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v B)) < (D / 2)) ↔ ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v B)) < (D / 2))))
5		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (A −v B) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v B))
6	5	fveq2d 2836	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (norm ‘(A −v B)) = (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v B)))
7	6	breq1d 2071	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((norm ‘(A −v B)) < D ↔ (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v B)) < D))
8	4, 7	imbi12d 474	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((((norm ‘(A −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v B)) < (D / 2)) → (norm ‘(A −v B)) < D) ↔ (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v B)) < (D / 2)) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v B)) < D)))
9		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (C −v B) = (C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
10	9	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (norm ‘(C −v B)) = (norm ‘(C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))))
11	10	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((norm ‘(C −v B)) < (D / 2) ↔ (norm ‘(C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2)))
12	11	anbi2d 468	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v B)) < (D / 2)) ↔ ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2))))
13		opreq2 3007	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v B) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
14	13	fveq2d 2836	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v B)) = (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))))
15	14	breq1d 2071	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v B)) < D ↔ (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < D))
16	12, 15	imbi12d 474	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v B)) < (D / 2)) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v B)) < D) ↔ (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2)) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < D)))
17		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (C = if(C ∈ ℋ , C, 0v) → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v)))
18	17	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (C = if(C ∈ ℋ , C, 0v) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) = (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))))
19	18	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℋ , C, 0v) → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ↔ (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (D / 2)))
20		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (C = if(C ∈ ℋ , C, 0v) → (C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v)) = (if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
21	20	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (C = if(C ∈ ℋ , C, 0v) → (norm ‘(C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) = (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))))
22	21	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℋ , C, 0v) → ((norm ‘(C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2) ↔ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2)))
23	19, 22	anbi12d 476	. . 3 ⊢ (C = if(C ∈ ℋ , C, 0v) → (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2)) ↔ ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (D / 2) ∧ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2))))
24	23	imbi1d 465	. 2 ⊢ (C = if(C ∈ ℋ , C, 0v) → ((((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2)) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < D) ↔ (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (D / 2) ∧ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2)) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < D)))
25		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (D = if(D ∈ ℝ, D, 2) → (D / 2) = (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2))
26	25	breq2d 2072	. . . 4 ⊢ (D = if(D ∈ ℝ, D, 2) → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (D / 2) ↔ (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2)))
27	25	breq2d 2072	. . . 4 ⊢ (D = if(D ∈ ℝ, D, 2) → ((norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2) ↔ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2)))
28	26, 27	anbi12d 476	. . 3 ⊢ (D = if(D ∈ ℝ, D, 2) → (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (D / 2) ∧ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2)) ↔ ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2) ∧ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2))))
29		breq2 2066	. . 3 ⊢ (D = if(D ∈ ℝ, D, 2) → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < D ↔ (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < if(D ∈ ℝ, D, 2)))
30	28, 29	imbi12d 474	. 2 ⊢ (D = if(D ∈ ℝ, D, 2) → ((((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (D / 2) ∧ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (D / 2)) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < D) ↔ (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2) ∧ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2)) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < if(D ∈ ℝ, D, 2))))
31		ax-hvzercl 4987	. . . 4 ⊢ 0v ∈ ℋ
32	31	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ ℋ
33	31	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℋ , B, 0v) ∈ ℋ
34	31	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(C ∈ ℋ , C, 0v) ∈ ℋ
35		2re 4470	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
36	35	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(D ∈ ℝ, D, 2) ∈ ℝ
37	32, 33, 34, 36	norm3lem 5096	. 2 ⊢ (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(C ∈ ℋ , C, 0v))) < (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2) ∧ (norm ‘(if(C ∈ ℋ , C, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < (if(D ∈ ℝ, D, 2) / 2)) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) −v if(B ∈ ℋ , B, 0v))) < if(D ∈ ℝ, D, 2))
38	8, 16, 24, 30, 37	dedth4h 1789	1 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℝ)) → (((norm ‘(A −v C)) < (D / 2) ∧ (norm ‘(C −v B)) < (D / 2)) → (norm ‘(A −v B)) < D))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℝcr 4027   < clt 4033   / cdiv 4091  2c2 4454   ℋ chil 4958  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962  normcno 4964

This theorem is referenced by:  hlimcaui 5141  hlimunii 5143

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074

metamath.org