Theorem normlem0 5062

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ S ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ F ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ G ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem0	⊢ ((F −v (S ·s G)) ·i (F −v (S ·s G))) = (((F ·i F) + (-(∗ ‘S) · (F ·i G))) + ((-S · (G ·i F)) + ((S · (∗ ‘S)) · (G ·i G))))

Proof of Theorem normlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . . 5 ⊢ F ∈ ℋ
2		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ S ∈ ℂ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ G ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcl 4990	. . . . 5 ⊢ (S ·s G) ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubval 5001	. . . 4 ⊢ (F −v (S ·s G)) = (F +v (-1 ·s (S ·s G)))
6	2	mulm1 4205	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · S) = -S
7	6	opreq1i 3009	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · S) ·s G) = (-S ·s G)
8		1cn 4101	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	negcl 4142	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
10	9, 2, 3	hvmulass 5020	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · S) ·s G) = (-1 ·s (S ·s G))
11	7, 10	eqtr3 1121	. . . . 5 ⊢ (-S ·s G) = (-1 ·s (S ·s G))
12	11	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ (F +v (-S ·s G)) = (F +v (-1 ·s (S ·s G)))
13	5, 12	eqtr4 1122	. . 3 ⊢ (F −v (S ·s G)) = (F +v (-S ·s G))
14	13, 13	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((F −v (S ·s G)) ·i (F −v (S ·s G))) = ((F +v (-S ·s G)) ·i (F +v (-S ·s G)))
15	2	negcl 4142	. . . 4 ⊢ -S ∈ ℂ
16	15, 3	hvmulcl 4990	. . 3 ⊢ (-S ·s G) ∈ ℋ
17	1, 16	hvaddcl 4999	. . 3 ⊢ (F +v (-S ·s G)) ∈ ℋ
18		ax-his2 5046	. . 3 ⊢ ((F ∈ ℋ ∧ (-S ·s G) ∈ ℋ ∧ (F +v (-S ·s G)) ∈ ℋ ) → ((F +v (-S ·s G)) ·i (F +v (-S ·s G))) = ((F ·i (F +v (-S ·s G))) + ((-S ·s G) ·i (F +v (-S ·s G)))))
19	1, 16, 17, 18	mp3an 642	. 2 ⊢ ((F +v (-S ·s G)) ·i (F +v (-S ·s G))) = ((F ·i (F +v (-S ·s G))) + ((-S ·s G) ·i (F +v (-S ·s G))))
20		his7 5051	. . . . 5 ⊢ ((F ∈ ℋ ∧ F ∈ ℋ ∧ (-S ·s G) ∈ ℋ ) → (F ·i (F +v (-S ·s G))) = ((F ·i F) + (F ·i (-S ·s G))))
21	1, 1, 16, 20	mp3an 642	. . . 4 ⊢ (F ·i (F +v (-S ·s G))) = ((F ·i F) + (F ·i (-S ·s G)))
22		his5 5050	. . . . . . 7 ⊢ ((-S ∈ ℂ ∧ F ∈ ℋ ∧ G ∈ ℋ ) → (F ·i (-S ·s G)) = ((∗ ‘-S) · (F ·i G)))
23	15, 1, 3, 22	mp3an 642	. . . . . 6 ⊢ (F ·i (-S ·s G)) = ((∗ ‘-S) · (F ·i G))
24	2	cjneg 4827	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘-S) = -(∗ ‘S)
25	24	opreq1i 3009	. . . . . 6 ⊢ ((∗ ‘-S) · (F ·i G)) = (-(∗ ‘S) · (F ·i G))
26	23, 25	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (F ·i (-S ·s G)) = (-(∗ ‘S) · (F ·i G))
27	26	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((F ·i F) + (F ·i (-S ·s G))) = ((F ·i F) + (-(∗ ‘S) · (F ·i G)))
28	21, 27	eqtr 1119	. . 3 ⊢ (F ·i (F +v (-S ·s G))) = ((F ·i F) + (-(∗ ‘S) · (F ·i G)))
29		ax-his3 5047	. . . . 5 ⊢ ((-S ∈ ℂ ∧ G ∈ ℋ ∧ (F +v (-S ·s G)) ∈ ℋ ) → ((-S ·s G) ·i (F +v (-S ·s G))) = (-S · (G ·i (F +v (-S ·s G)))))
30	15, 3, 17, 29	mp3an 642	. . . 4 ⊢ ((-S ·s G) ·i (F +v (-S ·s G))) = (-S · (G ·i (F +v (-S ·s G))))
31		his7 5051	. . . . . . 7 ⊢ ((G ∈ ℋ ∧ F ∈ ℋ ∧ (-S ·s G) ∈ ℋ ) → (G ·i (F +v (-S ·s G))) = ((G ·i F) + (G ·i (-S ·s G))))
32	3, 1, 16, 31	mp3an 642	. . . . . 6 ⊢ (G ·i (F +v (-S ·s G))) = ((G ·i F) + (G ·i (-S ·s G)))
33		his5 5050	. . . . . . . 8 ⊢ ((-S ∈ ℂ ∧ G ∈ ℋ ∧ G ∈ ℋ ) → (G ·i (-S ·s G)) = ((∗ ‘-S) · (G ·i G)))
34	15, 3, 3, 33	mp3an 642	. . . . . . 7 ⊢ (G ·i (-S ·s G)) = ((∗ ‘-S) · (G ·i G))
35	34	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ ((G ·i F) + (G ·i (-S ·s G))) = ((G ·i F) + ((∗ ‘-S) · (G ·i G)))
36	32, 35	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (G ·i (F +v (-S ·s G))) = ((G ·i F) + ((∗ ‘-S) · (G ·i G)))
37	36	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ (-S · (G ·i (F +v (-S ·s G)))) = (-S · ((G ·i F) + ((∗ ‘-S) · (G ·i G))))
38	3, 1	hicl 5044	. . . . . 6 ⊢ (G ·i F) ∈ ℂ
39	15	cjcl 4804	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘-S) ∈ ℂ
40	3, 3	hicl 5044	. . . . . . 7 ⊢ (G ·i G) ∈ ℂ
41	39, 40	mulcl 4105	. . . . . 6 ⊢ ((∗ ‘-S) · (G ·i G)) ∈ ℂ
42	15, 38, 41	adddi 4110	. . . . 5 ⊢ (-S · ((G ·i F) + ((∗ ‘-S) · (G ·i G)))) = ((-S · (G ·i F)) + (-S · ((∗ ‘-S) · (G ·i G))))
43	15, 39, 40	mulass 4109	. . . . . . 7 ⊢ ((-S · (∗ ‘-S)) · (G ·i G)) = (-S · ((∗ ‘-S) · (G ·i G)))
44	24	opreq2i 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (-S · (∗ ‘-S)) = (-S · -(∗ ‘S))
45	2	cjcl 4804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗ ‘S) ∈ ℂ
46	2, 45	mul2neg 4192	. . . . . . . . 9 ⊢ (-S · -(∗ ‘S)) = (S · (∗ ‘S))
47	44, 46	eqtr 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (-S · (∗ ‘-S)) = (S · (∗ ‘S))
48	47	opreq1i 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((-S · (∗ ‘-S)) · (G ·i G)) = ((S · (∗ ‘S)) · (G ·i G))
49	43, 48	eqtr3 1121	. . . . . 6 ⊢ (-S · ((∗ ‘-S) · (G ·i G))) = ((S · (∗ ‘S)) · (G ·i G))
50	49	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ ((-S · (G ·i F)) + (-S · ((∗ ‘-S) · (G ·i G)))) = ((-S · (G ·i F)) + ((S · (∗ ‘S)) · (G ·i G)))
51	42, 50	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ (-S · ((G ·i F) + ((∗ ‘-S) · (G ·i G)))) = ((-S · (G ·i F)) + ((S · (∗ ‘S)) · (G ·i G)))
52	30, 37, 51	3eqtr 1123	. . 3 ⊢ ((-S ·s G) ·i (F +v (-S ·s G))) = ((-S · (G ·i F)) + ((S · (∗ ‘S)) · (G ·i G)))
53	28, 52	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((F ·i (F +v (-S ·s G))) + ((-S ·s G) ·i (F +v (-S ·s G)))) = (((F ·i F) + (-(∗ ‘S) · (F ·i G))) + ((-S · (G ·i F)) + ((S · (∗ ‘S)) · (G ·i G))))
54	14, 19, 53	3eqtr 1123	1 ⊢ ((F −v (S ·s G)) ·i (F −v (S ·s G))) = (((F ·i F) + (-(∗ ‘S) · (F ·i G))) + ((-S · (G ·i F)) + ((S · (∗ ‘S)) · (G ·i G))))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032  -cneg 4090  ∗ccj 4788   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  normlem1 5063  pjthlem5 5229

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996

metamath.org