Theorem normlem1 5063

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ S ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ F ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ G ∈ ℋ
normlem1.4	⊢ R ∈ ℝ
normlem1.5	⊢ (abs ‘S) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem1	⊢ ((F −v ((S · R) ·s G)) ·i (F −v ((S · R) ·s G))) = (((F ·i F) + (((∗ ‘S) · -R) · (F ·i G))) + (((S · -R) · (G ·i F)) + ((R↑2) · (G ·i G))))

Proof of Theorem normlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . 4 ⊢ S ∈ ℂ
2		normlem1.4	. . . . 5 ⊢ R ∈ ℝ
3	2	recn 4098	. . . 4 ⊢ R ∈ ℂ
4	1, 3	mulcl 4105	. . 3 ⊢ (S · R) ∈ ℂ
5		normlem1.2	. . 3 ⊢ F ∈ ℋ
6		normlem1.3	. . 3 ⊢ G ∈ ℋ
7	4, 5, 6	normlem0 5062	. 2 ⊢ ((F −v ((S · R) ·s G)) ·i (F −v ((S · R) ·s G))) = (((F ·i F) + (-(∗ ‘(S · R)) · (F ·i G))) + ((-(S · R) · (G ·i F)) + (((S · R) · (∗ ‘(S · R))) · (G ·i G))))
8	1, 3	cjmul 4819	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ‘(S · R)) = ((∗ ‘S) · (∗ ‘R))
9	3	cjre 4811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (R ∈ ℝ ↔ (∗ ‘R) = R)
10	2, 9	mpbi 164	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗ ‘R) = R
11	10	opreq2i 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗ ‘S) · (∗ ‘R)) = ((∗ ‘S) · R)
12	8, 11	eqtr 1119	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘(S · R)) = ((∗ ‘S) · R)
13	12	negeqi 4137	. . . . . 6 ⊢ -(∗ ‘(S · R)) = -((∗ ‘S) · R)
14	1	cjcl 4804	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘S) ∈ ℂ
15	14, 3	mulneg2 4191	. . . . . 6 ⊢ ((∗ ‘S) · -R) = -((∗ ‘S) · R)
16	13, 15	eqtr4 1122	. . . . 5 ⊢ -(∗ ‘(S · R)) = ((∗ ‘S) · -R)
17	16	opreq1i 3009	. . . 4 ⊢ (-(∗ ‘(S · R)) · (F ·i G)) = (((∗ ‘S) · -R) · (F ·i G))
18	17	opreq2i 3010	. . 3 ⊢ ((F ·i F) + (-(∗ ‘(S · R)) · (F ·i G))) = ((F ·i F) + (((∗ ‘S) · -R) · (F ·i G)))
19	1, 3	mulneg2 4191	. . . . . 6 ⊢ (S · -R) = -(S · R)
20	19	cleqcomi 1105	. . . . 5 ⊢ -(S · R) = (S · -R)
21	20	opreq1i 3009	. . . 4 ⊢ (-(S · R) · (G ·i F)) = ((S · -R) · (G ·i F))
22	8	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((S · R) · (∗ ‘(S · R))) = ((S · R) · ((∗ ‘S) · (∗ ‘R)))
23	3	cjcl 4804	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ‘R) ∈ ℂ
24	1, 3, 14, 23	mul4 4180	. . . . . . 7 ⊢ ((S · R) · ((∗ ‘S) · (∗ ‘R))) = ((S · (∗ ‘S)) · (R · (∗ ‘R)))
25		normlem1.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ‘S) = 1
26	25	opreq1i 3009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ‘S)↑2) = (1↑2)
27	1	absvalsq 4837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ‘S)↑2) = (S · (∗ ‘S))
28		sq1 4709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
29	26, 27, 28	3eqtr3 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ (S · (∗ ‘S)) = 1
30	10	opreq2i 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (R · (∗ ‘R)) = (R · R)
31	29, 30	opreq12i 3011	. . . . . . . 8 ⊢ ((S · (∗ ‘S)) · (R · (∗ ‘R))) = (1 · (R · R))
32	3, 3	mulcl 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ (R · R) ∈ ℂ
33	32	mulid2 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (R · R)) = (R · R)
34	31, 33	eqtr 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((S · (∗ ‘S)) · (R · (∗ ‘R))) = (R · R)
35	22, 24, 34	3eqtr 1123	. . . . . 6 ⊢ ((S · R) · (∗ ‘(S · R))) = (R · R)
36	3	sqval 4685	. . . . . 6 ⊢ (R↑2) = (R · R)
37	35, 36	eqtr4 1122	. . . . 5 ⊢ ((S · R) · (∗ ‘(S · R))) = (R↑2)
38	37	opreq1i 3009	. . . 4 ⊢ (((S · R) · (∗ ‘(S · R))) · (G ·i G)) = ((R↑2) · (G ·i G))
39	21, 38	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((-(S · R) · (G ·i F)) + (((S · R) · (∗ ‘(S · R))) · (G ·i G))) = (((S · -R) · (G ·i F)) + ((R↑2) · (G ·i G)))
40	18, 39	opreq12i 3011	. 2 ⊢ (((F ·i F) + (-(∗ ‘(S · R)) · (F ·i G))) + ((-(S · R) · (G ·i F)) + (((S · R) · (∗ ‘(S · R))) · (G ·i G)))) = (((F ·i F) + (((∗ ‘S) · -R) · (F ·i G))) + (((S · -R) · (G ·i F)) + ((R↑2) · (G ·i G))))
41	7, 40	eqtr 1119	1 ⊢ ((F −v ((S · R) ·s G)) ·i (F −v ((S · R) ·s G))) = (((F ·i F) + (((∗ ‘S) · -R) · (F ·i G))) + (((S · -R) · (G ·i F)) + ((R↑2) · (G ·i G))))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032  -cneg 4090  2c2 4454  ↑cexp 4675  ∗ccj 4788  abscabs 4789   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  normlem4 5066

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996

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