Theorem normlem5 5067

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ S ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ F ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ G ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ B = -(((∗ ‘S) · (F ·i G)) + (S · (G ·i F)))
normlem3.5	⊢ A = (G ·i G)
normlem3.6	⊢ C = (F ·i F)
normlem4.7	⊢ R ∈ ℝ
normlem4.8	⊢ (abs ‘S) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem5	⊢ 0 ≤ (((A · (R↑2)) + (B · R)) + C)

Proof of Theorem normlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . 4 ⊢ F ∈ ℋ
2		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ S ∈ ℂ
3		normlem4.7	. . . . . . 7 ⊢ R ∈ ℝ
4	3	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ R ∈ ℂ
5	2, 4	mulcl 4105	. . . . 5 ⊢ (S · R) ∈ ℂ
6		normlem1.3	. . . . 5 ⊢ G ∈ ℋ
7	5, 6	hvmulcl 4990	. . . 4 ⊢ ((S · R) ·s G) ∈ ℋ
8	1, 7	hvsubcl 5002	. . 3 ⊢ (F −v ((S · R) ·s G)) ∈ ℋ
9		hiidge0t 5056	. . 3 ⊢ ((F −v ((S · R) ·s G)) ∈ ℋ → 0 ≤ ((F −v ((S · R) ·s G)) ·i (F −v ((S · R) ·s G))))
10	8, 9	ax-mp 6	. 2 ⊢ 0 ≤ ((F −v ((S · R) ·s G)) ·i (F −v ((S · R) ·s G)))
11		normlem2.4	. . 3 ⊢ B = -(((∗ ‘S) · (F ·i G)) + (S · (G ·i F)))
12		normlem3.5	. . 3 ⊢ A = (G ·i G)
13		normlem3.6	. . 3 ⊢ C = (F ·i F)
14		normlem4.8	. . 3 ⊢ (abs ‘S) = 1
15	2, 1, 6, 11, 12, 13, 3, 14	normlem4 5066	. 2 ⊢ ((F −v ((S · R) ·s G)) ·i (F −v ((S · R) ·s G))) = (((A · (R↑2)) + (B · R)) + C)
16	10, 15	breqtr 2080	1 ⊢ 0 ≤ (((A · (R↑2)) + (B · R)) + C)

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032  -cneg 4090   ≤ cle 4092  2c2 4454  ↑cexp 4675  ∗ccj 4788  abscabs 4789   ℋ chil 4958   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  normlem6 5068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996

metamath.org