Theorem normlem6 5068

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ S ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ F ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ G ∈ ℋ
normlem2.4	⊢ B = -(((∗ ‘S) · (F ·i G)) + (S · (G ·i F)))
normlem3.5	⊢ A = (G ·i G)
normlem3.6	⊢ C = (F ·i F)
normlem6.7	⊢ (abs ‘S) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem6	⊢ (abs ‘B) ≤ (2 · ((√ ‘A) · (√ ‘C)))

Proof of Theorem normlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.3	. . . . . . . 8 ⊢ G ∈ ℋ
2		hiidge0t 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (G ∈ ℋ → 0 ≤ (G ·i G))
3	1, 2	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (G ·i G)
4		normlem3.5	. . . . . . 7 ⊢ A = (G ·i G)
5	3, 4	breqtrr 2082	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ A
6		hiidrclt 5053	. . . . . . . . 9 ⊢ (G ∈ ℋ → (G ·i G) ∈ ℝ)
7	1, 6	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (G ·i G) ∈ ℝ
8	4, 7	eqeltr 1159	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℝ
9		normlem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ S ∈ ℂ
10		normlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ F ∈ ℋ
11		normlem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ B = -(((∗ ‘S) · (F ·i G)) + (S · (G ·i F)))
12	9, 10, 1, 11	normlem2 5064	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ ℝ
13		normlem3.6	. . . . . . . 8 ⊢ C = (F ·i F)
14		hiidrclt 5053	. . . . . . . . 9 ⊢ (F ∈ ℋ → (F ·i F) ∈ ℝ)
15	10, 14	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (F ·i F) ∈ ℝ
16	13, 15	eqeltr 1159	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ ℝ
17		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = if(x ∈ ℝ, x, 0) → (x↑2) = (if(x ∈ ℝ, x, 0)↑2))
18	17	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = if(x ∈ ℝ, x, 0) → (A · (x↑2)) = (A · (if(x ∈ ℝ, x, 0)↑2)))
19		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = if(x ∈ ℝ, x, 0) → (B · x) = (B · if(x ∈ ℝ, x, 0)))
20	18, 19	opreq12d 3014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = if(x ∈ ℝ, x, 0) → ((A · (x↑2)) + (B · x)) = ((A · (if(x ∈ ℝ, x, 0)↑2)) + (B · if(x ∈ ℝ, x, 0))))
21	20	opreq1d 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = if(x ∈ ℝ, x, 0) → (((A · (x↑2)) + (B · x)) + C) = (((A · (if(x ∈ ℝ, x, 0)↑2)) + (B · if(x ∈ ℝ, x, 0))) + C))
22	21	breq2d 2072	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = if(x ∈ ℝ, x, 0) → (0 ≤ (((A · (x↑2)) + (B · x)) + C) ↔ 0 ≤ (((A · (if(x ∈ ℝ, x, 0)↑2)) + (B · if(x ∈ ℝ, x, 0))) + C)))
23		ax0re 4063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	elimel 1793	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(x ∈ ℝ, x, 0) ∈ ℝ
25		normlem6.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ‘S) = 1
26	9, 10, 1, 11, 4, 13, 24, 25	normlem5 5067	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (((A · (if(x ∈ ℝ, x, 0)↑2)) + (B · if(x ∈ ℝ, x, 0))) + C)
27	22, 26	dedth 1784	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℝ → 0 ≤ (((A · (x↑2)) + (B · x)) + C))
28	27	rgen 1247	. . . . . . 7 ⊢ ∀x ∈ ℝ 0 ≤ (((A · (x↑2)) + (B · x)) + C)
29	8, 12, 16, 28	discrlem 4716	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ A → ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0)
30	5, 29	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0
31	12	sqrecl 4699	. . . . . 6 ⊢ (B↑2) ∈ ℝ
32		4re 4473	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
33	8, 16	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (A · C) ∈ ℝ
34	32, 33	remulcl 4119	. . . . . 6 ⊢ (4 · (A · C)) ∈ ℝ
35	31, 34, 23	lesubadd2 4318	. . . . 5 ⊢ (((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0 ↔ (B↑2) ≤ ((4 · (A · C)) + 0))
36	30, 35	mpbi 164	. . . 4 ⊢ (B↑2) ≤ ((4 · (A · C)) + 0)
37	34	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (4 · (A · C)) ∈ ℂ
38	37	addid1 4112	. . . 4 ⊢ ((4 · (A · C)) + 0) = (4 · (A · C))
39	36, 38	breqtr 2080	. . 3 ⊢ (B↑2) ≤ (4 · (A · C))
40	12	sqege0 4704	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (B↑2)
41		4pos 4481	. . . . . 6 ⊢ 0 < 4
42	23, 32, 41	ltlei 4303	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 4
43		hiidge0t 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (F ∈ ℋ → 0 ≤ (F ·i F))
44	10, 43	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (F ·i F)
45	44, 13	breqtrr 2082	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ C
46	8, 16	mulge0 4335	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ A ∧ 0 ≤ C) → 0 ≤ (A · C))
47	5, 45, 46	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (A · C)
48	32, 33	mulge0 4335	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (A · C)) → 0 ≤ (4 · (A · C)))
49	42, 47, 48	mp2an 520	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (4 · (A · C))
50	31, 34	sqrle 4765	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (B↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (A · C))) → ((B↑2) ≤ (4 · (A · C)) ↔ (√ ‘(B↑2)) ≤ (√ ‘(4 · (A · C)))))
51	40, 49, 50	mp2an 520	. . 3 ⊢ ((B↑2) ≤ (4 · (A · C)) ↔ (√ ‘(B↑2)) ≤ (√ ‘(4 · (A · C))))
52	39, 51	mpbi 164	. 2 ⊢ (√ ‘(B↑2)) ≤ (√ ‘(4 · (A · C)))
53	12	absre 4854	. 2 ⊢ (abs ‘B) = (√ ‘(B↑2))
54	32, 33, 42, 47	sqrmuli 4762	. . 3 ⊢ (√ ‘(4 · (A · C))) = ((√ ‘4) · (√ ‘(A · C)))
55		sqr4 4772	. . . 4 ⊢ (√ ‘4) = 2
56	8, 16, 5, 45	sqrmuli 4762	. . . 4 ⊢ (√ ‘(A · C)) = ((√ ‘A) · (√ ‘C))
57	55, 56	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((√ ‘4) · (√ ‘(A · C))) = (2 · ((√ ‘A) · (√ ‘C)))
58	54, 57	eqtr2 1120	. 2 ⊢ (2 · ((√ ‘A) · (√ ‘C))) = (√ ‘(4 · (A · C)))
59	52, 53, 58	3brtr4 2085	1 ⊢ (abs ‘B) ≤ (2 · ((√ ‘A) · (√ ‘C)))

Syntax hints:   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089  -cneg 4090   ≤ cle 4092  2c2 4454  4c4 4456  ↑cexp 4675  √csqr 4727  ∗ccj 4788  abscabs 4789   ℋ chil 4958   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  normlem7 5069

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996

metamath.org