Theorem normlem7t 5072

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem8.1	⊢ A ∈ ℋ
normlem8.2	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem7t	⊢ ((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1) → (((∗ ‘S) · (A ·i B)) + (S · (B ·i A))) ≤ (2 · ((√ ‘(B ·i B)) · (√ ‘(A ·i A)))))

Proof of Theorem normlem7t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . . . 5 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → (∗ ‘S) = (∗ ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)))
2	1	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → ((∗ ‘S) · (A ·i B)) = ((∗ ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) · (A ·i B)))
3		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → (S · (B ·i A)) = (if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) · (B ·i A)))
4	2, 3	opreq12d 3014	. . 3 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → (((∗ ‘S) · (A ·i B)) + (S · (B ·i A))) = (((∗ ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) · (A ·i B)) + (if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) · (B ·i A))))
5	4	breq1d 2071	. 2 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → ((((∗ ‘S) · (A ·i B)) + (S · (B ·i A))) ≤ (2 · ((√ ‘(B ·i B)) · (√ ‘(A ·i A)))) ↔ (((∗ ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) · (A ·i B)) + (if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) · (B ·i A))) ≤ (2 · ((√ ‘(B ·i B)) · (√ ‘(A ·i A))))))
6		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → (S ∈ ℂ ↔ if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) ∈ ℂ))
7		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → (abs ‘S) = (abs ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)))
8	7	cleq1d 1109	. . . . . 6 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → ((abs ‘S) = 1 ↔ (abs ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) = 1))
9	6, 8	anbi12d 476	. . . . 5 ⊢ (S = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → ((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1) ↔ (if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) ∈ ℂ ∧ (abs ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) = 1)))
10		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → (1 ∈ ℂ ↔ if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) ∈ ℂ))
11		fveq2 2832	. . . . . . 7 ⊢ (1 = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → (abs ‘1) = (abs ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)))
12	11	cleq1d 1109	. . . . . 6 ⊢ (1 = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → ((abs ‘1) = 1 ↔ (abs ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) = 1))
13	10, 12	anbi12d 476	. . . . 5 ⊢ (1 = if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) → ((1 ∈ ℂ ∧ (abs ‘1) = 1) ↔ (if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) ∈ ℂ ∧ (abs ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) = 1)))
14		1cn 4101	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		ax0re 4063	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		ax1re 4064	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		lt01 4377	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
18	15, 16, 17	ltlei 4303	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
19	16	absid 4850	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 → (abs ‘1) = 1)
20	18, 19	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (abs ‘1) = 1
21	14, 20	pm3.2i 234	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ (abs ‘1) = 1)
22	9, 13, 21	elimhyp 1790	. . . 4 ⊢ (if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) ∈ ℂ ∧ (abs ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) = 1)
23	22	pm3.26i 257	. . 3 ⊢ if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) ∈ ℂ
24		normlem8.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℋ
25		normlem8.2	. . 3 ⊢ B ∈ ℋ
26	22	pm3.27i 261	. . 3 ⊢ (abs ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) = 1
27	23, 24, 25, 26	normlem7 5069	. 2 ⊢ (((∗ ‘if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1)) · (A ·i B)) + (if((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1), S, 1) · (B ·i A))) ≤ (2 · ((√ ‘(B ·i B)) · (√ ‘(A ·i A))))
28	5, 27	dedth 1784	1 ⊢ ((S ∈ ℂ ∧ (abs ‘S) = 1) → (((∗ ‘S) · (A ·i B)) + (S · (B ·i A))) ≤ (2 · ((√ ‘(B ·i B)) · (√ ‘(A ·i A)))))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   ≤ cle 4092  2c2 4454  √csqr 4727  ∗ccj 4788  abscabs 4789   ℋ chil 4958   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  bcs 5101

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-hvsub 4996

metamath.org