Theorem normlem8 5071

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem8.1	⊢ A ∈ ℋ
normlem8.2	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem8	⊢ ((A −v B) ·i (A −v B)) = (((A ·i A) + (B ·i B)) − ((A ·i B) + (B ·i A)))

Proof of Theorem normlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem8.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℋ
2		normlem8.2	. . . 4 ⊢ B ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubval 5001	. . 3 ⊢ (A −v B) = (A +v (-1 ·s B))
4	3, 3	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((A −v B) ·i (A −v B)) = ((A +v (-1 ·s B)) ·i (A +v (-1 ·s B)))
5		1cn 4101	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	negcl 4142	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
7	6, 2	hvmulcl 4990	. . 3 ⊢ (-1 ·s B) ∈ ℋ
8	1, 7	normlem9 5070	. 2 ⊢ ((A +v (-1 ·s B)) ·i (A +v (-1 ·s B))) = (((A ·i A) + ((-1 ·s B) ·i (-1 ·s B))) + ((A ·i (-1 ·s B)) + ((-1 ·s B) ·i A)))
9		ax-his3 5047	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ B ∈ ℋ ∧ (-1 ·s B) ∈ ℋ ) → ((-1 ·s B) ·i (-1 ·s B)) = (-1 · (B ·i (-1 ·s B))))
10	6, 2, 7, 9	mp3an 642	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ·s B) ·i (-1 ·s B)) = (-1 · (B ·i (-1 ·s B)))
11		his5 5050	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ B ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (B ·i (-1 ·s B)) = ((∗ ‘-1) · (B ·i B)))
12	6, 2, 2, 11	mp3an 642	. . . . . . 7 ⊢ (B ·i (-1 ·s B)) = ((∗ ‘-1) · (B ·i B))
13	12	opreq2i 3010	. . . . . 6 ⊢ (-1 · (B ·i (-1 ·s B))) = (-1 · ((∗ ‘-1) · (B ·i B)))
14		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	14	renegcl 4171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
16		cjret 4829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗ ‘-1) = -1)
17	15, 16	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗ ‘-1) = -1
18	17	opreq2i 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · (∗ ‘-1)) = (-1 · -1)
19	5, 5	mul2neg 4192	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
20	5	mulid2 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
21	18, 19, 20	3eqtr 1123	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · (∗ ‘-1)) = 1
22	21	opreq1i 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 · (∗ ‘-1)) · (B ·i B)) = (1 · (B ·i B))
23	6	cjcl 4804	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ‘-1) ∈ ℂ
24	2, 2	hicl 5044	. . . . . . . 8 ⊢ (B ·i B) ∈ ℂ
25	6, 23, 24	mulass 4109	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 · (∗ ‘-1)) · (B ·i B)) = (-1 · ((∗ ‘-1) · (B ·i B)))
26	24	mulid2 4115	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (B ·i B)) = (B ·i B)
27	22, 25, 26	3eqtr3 1124	. . . . . 6 ⊢ (-1 · ((∗ ‘-1) · (B ·i B))) = (B ·i B)
28	10, 13, 27	3eqtr 1123	. . . . 5 ⊢ ((-1 ·s B) ·i (-1 ·s B)) = (B ·i B)
29	28	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((A ·i A) + ((-1 ·s B) ·i (-1 ·s B))) = ((A ·i A) + (B ·i B))
30		his5 5050	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A ·i (-1 ·s B)) = ((∗ ‘-1) · (A ·i B)))
31	6, 1, 2, 30	mp3an 642	. . . . . . 7 ⊢ (A ·i (-1 ·s B)) = ((∗ ‘-1) · (A ·i B))
32	17	opreq1i 3009	. . . . . . 7 ⊢ ((∗ ‘-1) · (A ·i B)) = (-1 · (A ·i B))
33	1, 2	hicl 5044	. . . . . . . 8 ⊢ (A ·i B) ∈ ℂ
34	33	mulm1 4205	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · (A ·i B)) = -(A ·i B)
35	31, 32, 34	3eqtr 1123	. . . . . 6 ⊢ (A ·i (-1 ·s B)) = -(A ·i B)
36		ax-his3 5047	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ B ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((-1 ·s B) ·i A) = (-1 · (B ·i A)))
37	6, 2, 1, 36	mp3an 642	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ·s B) ·i A) = (-1 · (B ·i A))
38	2, 1	hicl 5044	. . . . . . . 8 ⊢ (B ·i A) ∈ ℂ
39	38	mulm1 4205	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · (B ·i A)) = -(B ·i A)
40	37, 39	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ·s B) ·i A) = -(B ·i A)
41	35, 40	opreq12i 3011	. . . . 5 ⊢ ((A ·i (-1 ·s B)) + ((-1 ·s B) ·i A)) = (-(A ·i B) + -(B ·i A))
42	33, 38	negdi 4193	. . . . 5 ⊢ -((A ·i B) + (B ·i A)) = (-(A ·i B) + -(B ·i A))
43	41, 42	eqtr4 1122	. . . 4 ⊢ ((A ·i (-1 ·s B)) + ((-1 ·s B) ·i A)) = -((A ·i B) + (B ·i A))
44	29, 43	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ (((A ·i A) + ((-1 ·s B) ·i (-1 ·s B))) + ((A ·i (-1 ·s B)) + ((-1 ·s B) ·i A))) = (((A ·i A) + (B ·i B)) + -((A ·i B) + (B ·i A)))
45	1, 1	hicl 5044	. . . . 5 ⊢ (A ·i A) ∈ ℂ
46	45, 24	addcl 4104	. . . 4 ⊢ ((A ·i A) + (B ·i B)) ∈ ℂ
47	33, 38	addcl 4104	. . . 4 ⊢ ((A ·i B) + (B ·i A)) ∈ ℂ
48	46, 47	subneg 4148	. . 3 ⊢ (((A ·i A) + (B ·i B)) − ((A ·i B) + (B ·i A))) = (((A ·i A) + (B ·i B)) + -((A ·i B) + (B ·i A)))
49	44, 48	eqtr4 1122	. 2 ⊢ (((A ·i A) + ((-1 ·s B) ·i (-1 ·s B))) + ((A ·i (-1 ·s B)) + ((-1 ·s B) ·i A))) = (((A ·i A) + (B ·i B)) − ((A ·i B) + (B ·i A)))
50	4, 8, 49	3eqtr 1123	1 ⊢ ((A −v B) ·i (A −v B)) = (((A ·i A) + (B ·i B)) − ((A ·i B) + (B ·i A)))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089  -cneg 4090  ∗ccj 4788   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960   −_v cmv 4962   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  bcseq 5073  normpar 5099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvmulcl 4989  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996

metamath.org