Theorem normpyct 5093

Description: Corollary to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98.

Assertion

Ref	Expression
normpyct	⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A ·i B) = 0 → (norm ‘A) ≤ (norm ‘(A +v B))))

Proof of Theorem normpyct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normclt 5076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℋ → (norm ‘A) ∈ ℝ)
2		sqreclt 4697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((norm ‘A) ∈ ℝ → ((norm ‘A)↑2) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℋ → ((norm ‘A)↑2) ∈ ℝ)
4	3	recnd 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℋ → ((norm ‘A)↑2) ∈ ℂ)
5		ax0id 4076	. . . . . . . 8 ⊢ (((norm ‘A)↑2) ∈ ℂ → (((norm ‘A)↑2) + 0) = ((norm ‘A)↑2))
6	4, 5	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℋ → (((norm ‘A)↑2) + 0) = ((norm ‘A)↑2))
7	6	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (((norm ‘A)↑2) + 0) = ((norm ‘A)↑2))
8		normclt 5076	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℋ → (norm ‘B) ∈ ℝ)
9		sqege0t 4708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((norm ‘B) ∈ ℝ → 0 ≤ ((norm ‘B)↑2))
10	8, 9	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℋ → 0 ≤ ((norm ‘B)↑2))
11	10	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → 0 ≤ ((norm ‘B)↑2))
12		ax0re 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		leadd2t 4351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((norm ‘B)↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm ‘A)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((norm ‘B)↑2) ↔ (((norm ‘A)↑2) + 0) ≤ (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2))))
14	12, 13	mp3an1 639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((norm ‘B)↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm ‘A)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((norm ‘B)↑2) ↔ (((norm ‘A)↑2) + 0) ≤ (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2))))
15	14	ancoms 334	. . . . . . . 8 ⊢ ((((norm ‘A)↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm ‘B)↑2) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((norm ‘B)↑2) ↔ (((norm ‘A)↑2) + 0) ≤ (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2))))
16		sqreclt 4697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((norm ‘B) ∈ ℝ → ((norm ‘B)↑2) ∈ ℝ)
17	8, 16	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℋ → ((norm ‘B)↑2) ∈ ℝ)
18	15, 3, 17	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (0 ≤ ((norm ‘B)↑2) ↔ (((norm ‘A)↑2) + 0) ≤ (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2))))
19	11, 18	mpbid 170	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (((norm ‘A)↑2) + 0) ≤ (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)))
20	7, 19	eqbrtrrd 2079	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((norm ‘A)↑2) ≤ (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)))
21	20	adantr 306	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (A ·i B) = 0) → ((norm ‘A)↑2) ≤ (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)))
22		normpytht 5092	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A ·i B) = 0 → ((norm ‘(A +v B))↑2) = (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2))))
23	22	imp 277	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (A ·i B) = 0) → ((norm ‘(A +v B))↑2) = (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)))
24	21, 23	breqtrrd 2083	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (A ·i B) = 0) → ((norm ‘A)↑2) ≤ ((norm ‘(A +v B))↑2))
25	24	exp 291	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A ·i B) = 0 → ((norm ‘A)↑2) ≤ ((norm ‘(A +v B))↑2)))
26		le2sqet 4707	. . 3 ⊢ (((norm ‘A) ∈ ℝ ∧ (norm ‘(A +v B)) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (norm ‘A) ∧ 0 ≤ (norm ‘(A +v B))) → ((norm ‘A) ≤ (norm ‘(A +v B)) ↔ ((norm ‘A)↑2) ≤ ((norm ‘(A +v B))↑2))))
27	1	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (norm ‘A) ∈ ℝ)
28		ax-hvaddcl 4984	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (A +v B) ∈ ℋ )
29		normclt 5076	. . . . 5 ⊢ ((A +v B) ∈ ℋ → (norm ‘(A +v B)) ∈ ℝ)
30	28, 29	syl 12	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (norm ‘(A +v B)) ∈ ℝ)
31	27, 30	jca 236	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((norm ‘A) ∈ ℝ ∧ (norm ‘(A +v B)) ∈ ℝ))
32		normge0t 5077	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘A))
33	32	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → 0 ≤ (norm ‘A))
34		normge0t 5077	. . . . 5 ⊢ ((A +v B) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm ‘(A +v B)))
35	28, 34	syl 12	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → 0 ≤ (norm ‘(A +v B)))
36	33, 35	jca 236	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → (0 ≤ (norm ‘A) ∧ 0 ≤ (norm ‘(A +v B))))
37	26, 31, 36	sylc 62	. 2 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((norm ‘A) ≤ (norm ‘(A +v B)) ↔ ((norm ‘A)↑2) ≤ ((norm ‘(A +v B))↑2)))
38	25, 37	sylibrd 179	1 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A ·i B) = 0 → (norm ‘A) ≤ (norm ‘(A +v B))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028   + caddc 4031   ≤ cle 4092  2c2 4454  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_i csp 4963  normcno 4964

This theorem is referenced by:  pjnorm 5663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hnorm 5074

metamath.org