Theorem normpyth 5090

Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98.

Hypotheses

Ref	Expression
normsub.1	⊢ A ∈ ℋ
normsub.2	⊢ B ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normpyth	⊢ ((A ·i B) = 0 → ((norm ‘(A +v B))↑2) = (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)))

Proof of Theorem normpyth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 9	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·i B) = 0 → (A ·i B) = 0)
2		normsub.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℋ
3		normsub.2	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℋ
4		orthcom 5061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A ·i B) = 0 ↔ (B ·i A) = 0))
5	2, 3, 4	mp2an 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ·i B) = 0 ↔ (B ·i A) = 0)
6	5	biimp 133	. . . . . . 7 ⊢ ((A ·i B) = 0 → (B ·i A) = 0)
7	1, 6	opreq12d 3014	. . . . . 6 ⊢ ((A ·i B) = 0 → ((A ·i B) + (B ·i A)) = (0 + 0))
8		0cn 4100	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
9	8	addid1 4112	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
10	7, 9	syl6eq 1140	. . . . 5 ⊢ ((A ·i B) = 0 → ((A ·i B) + (B ·i A)) = 0)
11	10	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ ((A ·i B) = 0 → (((A ·i A) + (B ·i B)) + ((A ·i B) + (B ·i A))) = (((A ·i A) + (B ·i B)) + 0))
12	2, 2	hicl 5044	. . . . . 6 ⊢ (A ·i A) ∈ ℂ
13	3, 3	hicl 5044	. . . . . 6 ⊢ (B ·i B) ∈ ℂ
14	12, 13	addcl 4104	. . . . 5 ⊢ ((A ·i A) + (B ·i B)) ∈ ℂ
15	14	addid1 4112	. . . 4 ⊢ (((A ·i A) + (B ·i B)) + 0) = ((A ·i A) + (B ·i B))
16	11, 15	syl6eq 1140	. . 3 ⊢ ((A ·i B) = 0 → (((A ·i A) + (B ·i B)) + ((A ·i B) + (B ·i A))) = ((A ·i A) + (B ·i B)))
17	2, 3	normlem9 5070	. . 3 ⊢ ((A +v B) ·i (A +v B)) = (((A ·i A) + (B ·i B)) + ((A ·i B) + (B ·i A)))
18	16, 17	syl5eq 1136	. 2 ⊢ ((A ·i B) = 0 → ((A +v B) ·i (A +v B)) = ((A ·i A) + (B ·i B)))
19	2, 3	hvaddcl 4999	. . 3 ⊢ (A +v B) ∈ ℋ
20	19	normsq 5082	. 2 ⊢ ((norm ‘(A +v B))↑2) = ((A +v B) ·i (A +v B))
21	2	normsq 5082	. . 3 ⊢ ((norm ‘A)↑2) = (A ·i A)
22	3	normsq 5082	. . 3 ⊢ ((norm ‘B)↑2) = (B ·i B)
23	21, 22	opreq12i 3011	. 2 ⊢ (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)) = ((A ·i A) + (B ·i B))
24	18, 20, 23	3eqtr4g 1147	1 ⊢ ((A ·i B) = 0 → ((norm ‘(A +v B))↑2) = (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028   + caddc 4031  2c2 4454  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_i csp 4963  normcno 4964

This theorem is referenced by:  normpytht 5092  pjopyth 5593

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hnorm 5074

metamath.org