Theorem normpytht 5092

Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98.

Assertion

Ref	Expression
normpytht	⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A ·i B) = 0 → ((norm ‘(A +v B))↑2) = (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2))))

Proof of Theorem normpytht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (A ·i B) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B))
2	1	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((A ·i B) = 0 ↔ (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) = 0))
3		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (A +v B) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B))
4	3	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (norm ‘(A +v B)) = (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B)))
5	4	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((norm ‘(A +v B))↑2) = ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B))↑2))
6		fveq2 2832	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (norm ‘A) = (norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v)))
7	6	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → ((norm ‘A)↑2) = ((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2))
8	7	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘B)↑2)))
9	5, 8	cleq12d 1115	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (((norm ‘(A +v B))↑2) = (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2)) ↔ ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B))↑2) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘B)↑2))))
10	2, 9	imbi12d 474	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℋ , A, 0v) → (((A ·i B) = 0 → ((norm ‘(A +v B))↑2) = (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2))) ↔ ((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) = 0 → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B))↑2) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘B)↑2)))))
11		opreq2 3007	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
12	11	cleq1d 1109	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) = 0 ↔ (if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) = 0))
13		opreq2 3007	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B) = (if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
14	13	fveq2d 2836	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B)) = (norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v if(B ∈ ℋ , B, 0v))))
15	14	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B))↑2) = ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v if(B ∈ ℋ , B, 0v)))↑2))
16		fveq2 2832	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (norm ‘B) = (norm ‘if(B ∈ ℋ , B, 0v)))
17	16	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → ((norm ‘B)↑2) = ((norm ‘if(B ∈ ℋ , B, 0v))↑2))
18	17	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘B)↑2)) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘if(B ∈ ℋ , B, 0v))↑2)))
19	15, 18	cleq12d 1115	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B))↑2) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘B)↑2)) ↔ ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v if(B ∈ ℋ , B, 0v)))↑2) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘if(B ∈ ℋ , B, 0v))↑2))))
20	12, 19	imbi12d 474	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℋ , B, 0v) → (((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i B) = 0 → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v B))↑2) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘B)↑2))) ↔ ((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) = 0 → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v if(B ∈ ℋ , B, 0v)))↑2) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘if(B ∈ ℋ , B, 0v))↑2)))))
21		ax-hvzercl 4987	. . . 4 ⊢ 0v ∈ ℋ
22	21	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℋ , A, 0v) ∈ ℋ
23	21	elimel 1793	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℋ , B, 0v) ∈ ℋ
24	22, 23	normpyth 5090	. 2 ⊢ ((if(A ∈ ℋ , A, 0v) ·i if(B ∈ ℋ , B, 0v)) = 0 → ((norm ‘(if(A ∈ ℋ , A, 0v) +v if(B ∈ ℋ , B, 0v)))↑2) = (((norm ‘if(A ∈ ℋ , A, 0v))↑2) + ((norm ‘if(B ∈ ℋ , B, 0v))↑2)))
25	10, 20, 24	dedth2h 1787	1 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → ((A ·i B) = 0 → ((norm ‘(A +v B))↑2) = (((norm ‘A)↑2) + ((norm ‘B)↑2))))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028   + caddc 4031  2c2 4454  ↑cexp 4675   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   ·_i csp 4963  normcno 4964

This theorem is referenced by:  normpyct 5093  osumlem2 5531

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hnorm 5074

metamath.org