Theorem nthruc 4784

Description: The sequence ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, and ℂ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℤ but not ℕ, one-half belongs to ℚ but not ℤ, the square root of 2 belongs to ℝ but not ℚ, and finally that the imaginary number i belongs to ℂ but not ℝ. See nthruz 4785 for a further refinement.

Assertion

Ref	Expression
nthruc	⊢ ((ℕ ⊂ ℤ ∧ ℤ ⊂ ℚ) ∧ (ℚ ⊂ ℝ ∧ ℝ ⊂ ℂ))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 4577	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		0z 4573	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		0nnn 4443	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 234	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 1751	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊂ ℤ))
6	1, 4, 5	mp2 43	. . 3 ⊢ ℕ ⊂ ℤ
7		zssq 4633	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
8		1nn 4432	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
9	1, 8	sselii 1505	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		2nn 4487	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		znq 4630	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
12	9, 10, 11	mp2an 520	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℚ
13		halfnz 4586	. . . . 5 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
14	12, 13	pm3.2i 234	. . . 4 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
15		ssnelpss 1751	. . . 4 ⊢ (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊂ ℚ))
16	7, 14, 15	mp2 43	. . 3 ⊢ ℤ ⊂ ℚ
17	6, 16	pm3.2i 234	. 2 ⊢ (ℕ ⊂ ℤ ∧ ℤ ⊂ ℚ)
18		qssre 4636	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
19		2re 4470	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		2pos 4479	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
21	19, 20	sqrlem24 4754	. . . . 5 ⊢ (√ ‘2) ∈ ℝ
22		sqr2irr 4782	. . . . . 6 ⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ
23		df-nel 1193	. . . . . 6 ⊢ ((√ ‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ)
24	22, 23	mpbi 164	. . . . 5 ⊢ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ
25	21, 24	pm3.2i 234	. . . 4 ⊢ ((√ ‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ)
26		ssnelpss 1751	. . . 4 ⊢ (ℚ ⊆ ℝ → (((√ ‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊂ ℝ))
27	18, 25, 26	mp2 43	. . 3 ⊢ ℚ ⊂ ℝ
28		axresscn 4062	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
29		axicn 4065	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
30		inelr 4527	. . . . 5 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
31	29, 30	pm3.2i 234	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
32		ssnelpss 1751	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊂ ℂ))
33	28, 31, 32	mp2 43	. . 3 ⊢ ℝ ⊂ ℂ
34	27, 33	pm3.2i 234	. 2 ⊢ (ℚ ⊂ ℝ ∧ ℝ ⊂ ℂ)
35	17, 34	pm3.2i 234	1 ⊢ ((ℕ ⊂ ℤ ∧ ℤ ⊂ ℚ) ∧ (ℚ ⊂ ℝ ∧ ℝ ⊂ ℂ))

Syntax hints:  ¬ wn 1   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   ∉ wnel 1191   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029  ici 4030   / cdiv 4091  ℕcn 4093  ℤcz 4095  ℚcq 4096  2c2 4454  √csqr 4727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-nel 1193  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-q 4628  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728

metamath.org