Theorem nthruz 4785

Description: The sequence ℕ, ℕ₀, and ℤ forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ℕ₀ but not ℕ and minus one belongs to ℤ but not ℕ₀. This theorem refines the chain of proper subsets nthruc 4784.

Assertion

Ref	Expression
nthruz	⊢ (ℕ ⊂ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊂ ℤ)

Proof of Theorem nthruz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssnn0 4537	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
2		0nn0 4546	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3		0nnn 4443	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
4	2, 3	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5		ssnelpss 1751	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → ((0 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊂ ℕ0))
6	1, 4, 5	mp2 43	. 2 ⊢ ℕ ⊂ ℕ0
7		nn0ssz 4578	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
8		1nn 4432	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		nnnegz 4566	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
10	8, 9	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
11		ax1re 4064	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	11	renegcl 4171	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		neg0 4170	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
14		lt01 4377	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
15	13, 14	eqbrtr 2076	. . . . . 6 ⊢ -0 < 1
16		ax0re 4063	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
17	11, 16	ltnegcon1 4332	. . . . . 6 ⊢ (-1 < 0 ↔ -0 < 1)
18	15, 17	mpbir 165	. . . . 5 ⊢ -1 < 0
19		lt0nnn0 4549	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ -1 < 0) → ¬ -1 ∈ ℕ0)
20	12, 18, 19	mp2an 520	. . . 4 ⊢ ¬ -1 ∈ ℕ0
21	10, 20	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0)
22		ssnelpss 1751	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → ((-1 ∈ ℤ ∧ ¬ -1 ∈ ℕ0) → ℕ0 ⊂ ℤ))
23	7, 21, 22	mp2 43	. 2 ⊢ ℕ0 ⊂ ℤ
24	6, 23	pm3.2i 234	1 ⊢ (ℕ ⊂ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊂ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   < clt 4033  -cneg 4090  ℕcn 4093  ℕ₀cn0 4094  ℤcz 4095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org