Theorem numth2 3600

Description: Numeration theorem: any set is equinumerous to some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84.

Assertion

Ref	Expression
numth2	⊢ ∃x ∈ On x ≈ A

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem numth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (y = A → (x ≈ y ↔ x ≈ A))
2	1	birexdv 1220	. . 3 ⊢ (y = A → (∃x ∈ On x ≈ y ↔ ∃x ∈ On x ≈ A))
3		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
4	3	numth 3599	. . . 4 ⊢ ∃x ∈ On ∃z z:x–1-1-onto→y
5	3	bren 3282	. . . . 5 ⊢ (x ≈ y ↔ ∃z z:x–1-1-onto→y)
6	5	birex 1224	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ On x ≈ y ↔ ∃x ∈ On ∃z z:x–1-1-onto→y)
7	4, 6	mpbir 165	. . 3 ⊢ ∃x ∈ On x ≈ y
8	2, 7	vtoclg 1383	. 2 ⊢ (A ∈ V → ∃x ∈ On x ≈ A)
9		0elon 2277	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
10		enrefg 3294	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ On → ∅ ≈ ∅)
11	9, 10	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ ∅ ≈ ∅
12		brprc 2097	. . . 4 ⊢ (¬ A ∈ V → (∅ ≈ A ↔ ∅ ≈ ∅))
13	11, 12	mpbiri 169	. . 3 ⊢ (¬ A ∈ V → ∅ ≈ A)
14		breq1 2065	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x ≈ A ↔ ∅ ≈ A))
15	14	rcla4ev 1403	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ ∅ ≈ A) → ∃x ∈ On x ≈ A)
16	9, 15	mpan 518	. . 3 ⊢ (∅ ≈ A → ∃x ∈ On x ≈ A)
17	13, 16	syl 12	. 2 ⊢ (¬ A ∈ V → ∃x ∈ On x ≈ A)
18	8, 17	pm2.61i 110	1 ⊢ ∃x ∈ On x ≈ A

Syntax hints:  ¬ wn 1  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  Vcvv 1348  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  –1-1-onto→wf1o 2421   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  numthcor 3601  cardval 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-en 3274

metamath.org