Theorem oaword 3151

Description: Weak ordering property of ordinal addition.

Assertion

Ref	Expression
oaword	⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → (A ⊆ B ↔ (C +o A) ⊆ (C +o B)))

Proof of Theorem oaword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaord 3149	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → (A ∈ B ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
2		oacan 3150	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ On ∧ A ∈ On ∧ B ∈ On) → ((C +o A) = (C +o B) ↔ A = B))
3	2	3coml 617	. . . 4 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → ((C +o A) = (C +o B) ↔ A = B))
4	3	bicomd 399	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → (A = B ↔ (C +o A) = (C +o B)))
5	1, 4	orbi12d 475	. 2 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → ((A ∈ B ∨ A = B) ↔ ((C +o A) ∈ (C +o B) ∨ (C +o A) = (C +o B))))
6		onsseleq 2254	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → (A ⊆ B ↔ (A ∈ B ∨ A = B)))
7	6	3adant3 599	. 2 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → (A ⊆ B ↔ (A ∈ B ∨ A = B)))
8		oacl 3138	. . . . . . 7 ⊢ ((C ∈ On ∧ A ∈ On) → (C +o A) ∈ On)
9		oacl 3138	. . . . . . 7 ⊢ ((C ∈ On ∧ B ∈ On) → (C +o B) ∈ On)
10	8, 9	anim12i 268	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ On ∧ A ∈ On) ∧ (C ∈ On ∧ B ∈ On)) → ((C +o A) ∈ On ∧ (C +o B) ∈ On))
11	10	anandis 394	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ On ∧ (A ∈ On ∧ B ∈ On)) → ((C +o A) ∈ On ∧ (C +o B) ∈ On))
12	11	ancoms 334	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ B ∈ On) ∧ C ∈ On) → ((C +o A) ∈ On ∧ (C +o B) ∈ On))
13	12	3impa 609	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → ((C +o A) ∈ On ∧ (C +o B) ∈ On))
14		onsseleq 2254	. . 3 ⊢ (((C +o A) ∈ On ∧ (C +o B) ∈ On) → ((C +o A) ⊆ (C +o B) ↔ ((C +o A) ∈ (C +o B) ∨ (C +o A) = (C +o B))))
15	13, 14	syl 12	. 2 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → ((C +o A) ⊆ (C +o B) ↔ ((C +o A) ∈ (C +o B) ∨ (C +o A) = (C +o B))))
16	5, 7, 15	3bitr4d 424	1 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On ∧ C ∈ On) → (A ⊆ B ↔ (C +o A) ⊆ (C +o B)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Oncon0 2199  (class class class)co 3001   +_o coa 3101

This theorem is referenced by:  oaword1 3154  oaass 3163  nnaword 3185

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106

metamath.org