Theorem occl 5188

Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypothesis

Ref	Expression
occl.1	⊢ A ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
occl	⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ

Proof of Theorem occl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		occl.1	. . . 4 ⊢ A ⊆ ℋ
2		ocsh 5164	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℋ → (⊥ ‘A) ∈ Sℋ )
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Sℋ
4		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ f ∈ V
5		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
6	4, 5	hlimvec 5110	. . . . . . 7 ⊢ (f ⇝v x → x ∈ ℋ )
7	6	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ ((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ f ⇝v x) → x ∈ ℋ )
8	4	occllem8 5187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → ((f ⇝v x ∧ ∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0) → (x ·i y) = 0))
9	8	exp4b 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℋ → (y ∈ ℋ → (f ⇝v x → (∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0 → (x ·i y) = 0))))
10	1	sseli 1504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ A → y ∈ ℋ )
11	9, 10	syl5 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℋ → (y ∈ A → (f ⇝v x → (∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0 → (x ·i y) = 0))))
12	11	com23 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℋ → (f ⇝v x → (y ∈ A → (∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0 → (x ·i y) = 0))))
13	6, 12	mpcom 49	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f ⇝v x → (y ∈ A → (∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0 → (x ·i y) = 0)))
14	13	imp 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((f ⇝v x ∧ y ∈ A) → (∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0 → (x ·i y) = 0))
15	14	r19.20dva 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ⇝v x → (∀y ∈ A ∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0 → ∀y ∈ A (x ·i y) = 0))
16		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ z ∈ ℕ) → (f ‘z) ∈ (⊥ ‘A))
17		ocelt 5162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((f ‘z) ∈ (⊥ ‘A) ↔ ((f ‘z) ∈ ℋ ∧ ∀y ∈ A ((f ‘z) ·i y) = 0)))
18	1, 17	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((f ‘z) ∈ (⊥ ‘A) ↔ ((f ‘z) ∈ ℋ ∧ ∀y ∈ A ((f ‘z) ·i y) = 0))
19	18	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((f ‘z) ∈ (⊥ ‘A) → ∀y ∈ A ((f ‘z) ·i y) = 0)
20	16, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ z ∈ ℕ) → ∀y ∈ A ((f ‘z) ·i y) = 0)
21	20	exp 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (f:ℕ–→(⊥ ‘A) → (z ∈ ℕ → ∀y ∈ A ((f ‘z) ·i y) = 0))
22	21	r19.21aiv 1259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (f:ℕ–→(⊥ ‘A) → ∀z ∈ ℕ ∀y ∈ A ((f ‘z) ·i y) = 0)
23		ralcom 1312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y ∈ A ∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0 ↔ ∀z ∈ ℕ ∀y ∈ A ((f ‘z) ·i y) = 0)
24	22, 23	sylibr 175	. . . . . . . . 9 ⊢ (f:ℕ–→(⊥ ‘A) → ∀y ∈ A ∀z ∈ ℕ ((f ‘z) ·i y) = 0)
25	15, 24	syl5 22	. . . . . . . 8 ⊢ (f ⇝v x → (f:ℕ–→(⊥ ‘A) → ∀y ∈ A (x ·i y) = 0))
26	25	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((f ⇝v x ∧ f:ℕ–→(⊥ ‘A)) → ∀y ∈ A (x ·i y) = 0)
27	26	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ ((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ f ⇝v x) → ∀y ∈ A (x ·i y) = 0)
28	7, 27	jca 236	. . . . 5 ⊢ ((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ f ⇝v x) → (x ∈ ℋ ∧ ∀y ∈ A (x ·i y) = 0))
29		ocelt 5162	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℋ → (x ∈ (⊥ ‘A) ↔ (x ∈ ℋ ∧ ∀y ∈ A (x ·i y) = 0)))
30	1, 29	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (x ∈ (⊥ ‘A) ↔ (x ∈ ℋ ∧ ∀y ∈ A (x ·i y) = 0))
31	28, 30	sylibr 175	. . . 4 ⊢ ((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ f ⇝v x) → x ∈ (⊥ ‘A))
32	31	gen2 681	. . 3 ⊢ ∀f∀x((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ f ⇝v x) → x ∈ (⊥ ‘A))
33	3, 32	pm3.2i 234	. 2 ⊢ ((⊥ ‘A) ∈ Sℋ ∧ ∀f∀x((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ f ⇝v x) → x ∈ (⊥ ‘A)))
34		closedsub 5128	. 2 ⊢ ((⊥ ‘A) ∈ Cℋ ↔ ((⊥ ‘A) ∈ Sℋ ∧ ∀f∀x((f:ℕ–→(⊥ ‘A) ∧ f ⇝v x) → x ∈ (⊥ ‘A))))
35	33, 34	mpbir 165	1 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028  ℕcn 4093   ℋ chil 4958   ·_i csp 4963   ⇝_v chli 4966   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969

This theorem is referenced by:  occlt 5189  chocl 5192  pjococ 5272  chsscon3 5383  shjshs 5412  sshhococ 5451  h1det 5455  h1de2b 5459  h1de2ctlem 5460  h1de2ct 5461  spansnpj 5481

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulass 4992  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156

metamath.org