Theorem occllem5 5184

Description: Lemma for closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypothesis

Ref	Expression
occllem3.1	⊢ G = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = ((F ‘x) ·i S))}

Assertion

Ref	Expression
occllem5	⊢ (∀z ∈ ℕ ((F ‘z) ·i S) = 0 → G ⇝ 0)

Distinct variable group(s):   x,y,z,F   x,S,y,z   z,G

Proof of Theorem occllem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = x → (F ‘z) = (F ‘x))
2	1	opreq1d 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (z = x → ((F ‘z) ·i S) = ((F ‘x) ·i S))
3	2	cleq1d 1109	. . . . . . 7 ⊢ (z = x → (((F ‘z) ·i S) = 0 ↔ ((F ‘x) ·i S) = 0))
4	3	rcla4v 1402	. . . . . 6 ⊢ (∀z ∈ ℕ ((F ‘z) ·i S) = 0 → (x ∈ ℕ → ((F ‘x) ·i S) = 0))
5		cleq2 1110	. . . . . 6 ⊢ (((F ‘x) ·i S) = 0 → (y = ((F ‘x) ·i S) ↔ y = 0))
6	4, 5	syl6 23	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ ℕ ((F ‘z) ·i S) = 0 → (x ∈ ℕ → (y = ((F ‘x) ·i S) ↔ y = 0)))
7	6	pm5.32d 491	. . . 4 ⊢ (∀z ∈ ℕ ((F ‘z) ·i S) = 0 → ((x ∈ ℕ ∧ y = ((F ‘x) ·i S)) ↔ (x ∈ ℕ ∧ y = 0)))
8	7	biopabdv 2102	. . 3 ⊢ (∀z ∈ ℕ ((F ‘z) ·i S) = 0 → {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = ((F ‘x) ·i S))} = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = 0)})
9		occllem3.1	. . 3 ⊢ G = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = ((F ‘x) ·i S))}
10		fconstopab 2448	. . 3 ⊢ (ℕ × {0}) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℕ ∧ y = 0)}
11	8, 9, 10	3eqtr4g 1147	. 2 ⊢ (∀z ∈ ℕ ((F ‘z) ·i S) = 0 → G = (ℕ × {0}))
12		clim0 4882	. 2 ⊢ (ℕ × {0}) ⇝ 0
13	11, 12	syl6eqbr 2092	1 ⊢ (∀z ∈ ℕ ((F ‘z) ·i S) = 0 → G ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {csn 1808   class class class wbr 2054  {copab 2055   × cxp 2408   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028  ℕcn 4093   ⇝ cli 4875   ·_i csp 4963

This theorem is referenced by:  occllem7 5186

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876

metamath.org