Theorem ocelt 5162

Description: Membership in orthogonal complement of H subset.

Assertion

Ref	Expression
ocelt	⊢ (H ⊆ ℋ → (A ∈ (⊥ ‘H) ↔ (A ∈ ℋ ∧ ∀x ∈ H (A ·i x) = 0)))

Distinct variable group(s):   x,H   x,A

Proof of Theorem ocelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvalt 5161	. . 3 ⊢ (H ⊆ ℋ → (⊥ ‘H) = {y ∈ ℋ ∣∀x ∈ H (y ·i x) = 0})
2	1	eleq2d 1156	. 2 ⊢ (H ⊆ ℋ → (A ∈ (⊥ ‘H) ↔ A ∈ {y ∈ ℋ ∣∀x ∈ H (y ·i x) = 0}))
3		opreq1 3006	. . . . 5 ⊢ (y = A → (y ·i x) = (A ·i x))
4	3	cleq1d 1109	. . . 4 ⊢ (y = A → ((y ·i x) = 0 ↔ (A ·i x) = 0))
5	4	biraldv 1219	. . 3 ⊢ (y = A → (∀x ∈ H (y ·i x) = 0 ↔ ∀x ∈ H (A ·i x) = 0))
6	5	elrab 1422	. 2 ⊢ (A ∈ {y ∈ ℋ ∣∀x ∈ H (y ·i x) = 0} ↔ (A ∈ ℋ ∧ ∀x ∈ H (A ·i x) = 0))
7	2, 6	syl6bb 414	1 ⊢ (H ⊆ ℋ → (A ∈ (⊥ ‘H) ↔ (A ∈ ℋ ∧ ∀x ∈ H (A ·i x) = 0)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {crab 1204   ⊆ wss 1487   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028   ℋ chil 4958   ·_i csp 4963  ⊥cort 4969

This theorem is referenced by:  shocelt 5163  ocsh 5164  ocorth 5172  ococss 5174  occl 5188  chocnul 5293  h1deot 5454  h1det 5455

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oc 5156

metamath.org