Theorem ocsh 5164

Description: The orthogonal complement of a subspace is a subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Assertion

Ref	Expression
ocsh	⊢ (A ⊆ ℋ → (⊥ ‘A) ∈ Sℋ )

Proof of Theorem ocsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab 1556	. . . . 5 ⊢ {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ A (x ·i y) = 0} ⊆ ℋ
2		ocvalt 5161	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℋ → (⊥ ‘A) = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ A (x ·i y) = 0})
3	2	sseq1d 1527	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((⊥ ‘A) ⊆ ℋ ↔ {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ A (x ·i y) = 0} ⊆ ℋ ))
4	1, 3	mpbiri 169	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℋ → (⊥ ‘A) ⊆ ℋ )
5		ssel 1502	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℋ → (y ∈ A → y ∈ ℋ ))
6		hizer1t 5054	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℋ → (0v ·i y) = 0)
7	5, 6	syl6 23	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℋ → (y ∈ A → (0v ·i y) = 0))
8	7	r19.21aiv 1259	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℋ → ∀y ∈ A (0v ·i y) = 0)
9		ax-hvzercl 4987	. . . . . 6 ⊢ 0v ∈ ℋ
10	8, 9	jctil 240	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℋ → (0v ∈ ℋ ∧ ∀y ∈ A (0v ·i y) = 0))
11		ocelt 5162	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℋ → (0v ∈ (⊥ ‘A) ↔ (0v ∈ ℋ ∧ ∀y ∈ A (0v ·i y) = 0)))
12	10, 11	mpbird 171	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℋ → 0v ∈ (⊥ ‘A))
13	4, 12	jca 236	. . 3 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((⊥ ‘A) ⊆ ℋ ∧ 0v ∈ (⊥ ‘A)))
14		ax-his2 5046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → ((x +v y) ·i z) = ((x ·i z) + (y ·i z)))
15	14	3expa 612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ ) → ((x +v y) ·i z) = ((x ·i z) + (y ·i z)))
16		opreq12 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) → ((x ·i z) + (y ·i z)) = (0 + 0))
17		0cn 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	17	addid1 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 0) = 0
19	16, 18	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) → ((x ·i z) + (y ·i z)) = 0)
20	15, 19	sylan9eq 1144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ ) ∧ ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0)) → ((x +v y) ·i z) = 0)
21	20	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ ) → (((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) → ((x +v y) ·i z) = 0))
22	21	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ ℋ ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) → ((x +v y) ·i z) = 0))
23		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ⊆ ℋ ∧ z ∈ A) → z ∈ ℋ )
24	22, 23	sylan 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ⊆ ℋ ∧ z ∈ A) ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) → ((x +v y) ·i z) = 0))
25	24	an1rs 373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ⊆ ℋ ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) ∧ z ∈ A) → (((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) → ((x +v y) ·i z) = 0))
26	25	r19.20dva 1256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ⊆ ℋ ∧ (x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ )) → (∀z ∈ A ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) → ∀z ∈ A ((x +v y) ·i z) = 0))
27	26	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (∀z ∈ A ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) → ∀z ∈ A ((x +v y) ·i z) = 0)))
28	27	imdistand 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ ℋ → (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0)) → ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x +v y) ·i z) = 0)))
29		ax-hvaddcl 4984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) → (x +v y) ∈ ℋ )
30	29	anim1i 269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x +v y) ·i z) = 0) → ((x +v y) ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A ((x +v y) ·i z) = 0))
31	28, 30	syl6 23	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℋ → (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0)) → ((x +v y) ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A ((x +v y) ·i z) = 0)))
32		ocelt 5162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℋ → (x ∈ (⊥ ‘A) ↔ (x ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (x ·i z) = 0)))
33		ocelt 5162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℋ → (y ∈ (⊥ ‘A) ↔ (y ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0)))
34	32, 33	anbi12d 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ∈ (⊥ ‘A) ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ↔ ((x ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (x ·i z) = 0) ∧ (y ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0))))
35		an4 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (x ·i z) = 0) ∧ (y ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0)) ↔ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ (∀z ∈ A (x ·i z) = 0 ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0)))
36		r19.26 1289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀z ∈ A ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0) ↔ (∀z ∈ A (x ·i z) = 0 ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0))
37	36	anbi2i 367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0)) ↔ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ (∀z ∈ A (x ·i z) = 0 ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0)))
38	35, 37	bitr4 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (x ·i z) = 0) ∧ (y ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0)) ↔ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0)))
39	34, 38	syl6bb 414	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ∈ (⊥ ‘A) ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ↔ ((x ∈ ℋ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x ·i z) = 0 ∧ (y ·i z) = 0))))
40		ocelt 5162	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x +v y) ∈ (⊥ ‘A) ↔ ((x +v y) ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A ((x +v y) ·i z) = 0)))
41	31, 39, 40	3imtr4d 421	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ∈ (⊥ ‘A) ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) → (x +v y) ∈ (⊥ ‘A)))
42	41	exp3a 292	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℋ → (x ∈ (⊥ ‘A) → (y ∈ (⊥ ‘A) → (x +v y) ∈ (⊥ ‘A))))
43	42	r19.21adv 1262	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℋ → (x ∈ (⊥ ‘A) → ∀y ∈ (⊥ ‘A)(x +v y) ∈ (⊥ ‘A)))
44	43	r19.21aiv 1259	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℋ → ∀x ∈ (⊥ ‘A)∀y ∈ (⊥ ‘A)(x +v y) ∈ (⊥ ‘A))
45		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y ·i z) = 0 → (x · (y ·i z)) = (x · 0))
46	45	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ·i z) = 0 → ((x · (y ·i z)) = 0 ↔ (x · 0) = 0))
47		mulzer1t 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ℂ → (x · 0) = 0)
48	46, 47	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ·i z) = 0 → (x ∈ ℂ → (x · (y ·i z)) = 0))
49	48	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ∈ ℂ → ((y ·i z) = 0 → (x · (y ·i z)) = 0))
50	49	ad2antrl 322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ ℋ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ )) → ((y ·i z) = 0 → (x · (y ·i z)) = 0))
51		ax-his3 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → ((x ·s y) ·i z) = (x · (y ·i z)))
52	51	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ∧ z ∈ ℋ ) → (((x ·s y) ·i z) = 0 ↔ (x · (y ·i z)) = 0))
53	52	3expa 612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ z ∈ ℋ ) → (((x ·s y) ·i z) = 0 ↔ (x · (y ·i z)) = 0))
54	53	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ ℋ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ )) → (((x ·s y) ·i z) = 0 ↔ (x · (y ·i z)) = 0))
55	50, 54	sylibrd 179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ ℋ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ )) → ((y ·i z) = 0 → ((x ·s y) ·i z) = 0))
56	55, 23	sylan 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ⊆ ℋ ∧ z ∈ A) ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ )) → ((y ·i z) = 0 → ((x ·s y) ·i z) = 0))
57	56	an1rs 373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ⊆ ℋ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ )) ∧ z ∈ A) → ((y ·i z) = 0 → ((x ·s y) ·i z) = 0))
58	57	r19.20dva 1256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ⊆ ℋ ∧ (x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ )) → (∀z ∈ A (y ·i z) = 0 → ∀z ∈ A ((x ·s y) ·i z) = 0))
59	58	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) → (∀z ∈ A (y ·i z) = 0 → ∀z ∈ A ((x ·s y) ·i z) = 0)))
60	59	imdistand 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ ℋ → (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0) → ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x ·s y) ·i z) = 0)))
61		ax-hvmulcl 4989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) → (x ·s y) ∈ ℋ )
62	61	anim1i 269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A ((x ·s y) ·i z) = 0) → ((x ·s y) ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A ((x ·s y) ·i z) = 0))
63	60, 62	syl6 23	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℋ → (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0) → ((x ·s y) ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A ((x ·s y) ·i z) = 0)))
64	33	anbi2d 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ↔ (x ∈ ℂ ∧ (y ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0))))
65		anass 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0) ↔ (x ∈ ℂ ∧ (y ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0)))
66	64, 65	syl6bbr 416	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) ↔ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℋ ) ∧ ∀z ∈ A (y ·i z) = 0)))
67		ocelt 5162	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ·s y) ∈ (⊥ ‘A) ↔ ((x ·s y) ∈ ℋ ∧ ∀z ∈ A ((x ·s y) ·i z) = 0)))
68	63, 66, 67	3imtr4d 421	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℋ → ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ (⊥ ‘A)) → (x ·s y) ∈ (⊥ ‘A)))
69	68	exp3a 292	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℋ → (x ∈ ℂ → (y ∈ (⊥ ‘A) → (x ·s y) ∈ (⊥ ‘A))))
70	69	r19.21adv 1262	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℋ → (x ∈ ℂ → ∀y ∈ (⊥ ‘A)(x ·s y) ∈ (⊥ ‘A)))
71	70	r19.21aiv 1259	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℋ → ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ (⊥ ‘A)(x ·s y) ∈ (⊥ ‘A))
72	44, 71	jca 236	. . 3 ⊢ (A ⊆ ℋ → (∀x ∈ (⊥ ‘A)∀y ∈ (⊥ ‘A)(x +v y) ∈ (⊥ ‘A) ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ (⊥ ‘A)(x ·s y) ∈ (⊥ ‘A)))
73	13, 72	jca 236	. 2 ⊢ (A ⊆ ℋ → (((⊥ ‘A) ⊆ ℋ ∧ 0v ∈ (⊥ ‘A)) ∧ (∀x ∈ (⊥ ‘A)∀y ∈ (⊥ ‘A)(x +v y) ∈ (⊥ ‘A) ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ (⊥ ‘A)(x ·s y) ∈ (⊥ ‘A))))
74		sh 5116	. 2 ⊢ ((⊥ ‘A) ∈ Sℋ ↔ (((⊥ ‘A) ⊆ ℋ ∧ 0v ∈ (⊥ ‘A)) ∧ (∀x ∈ (⊥ ‘A)∀y ∈ (⊥ ‘A)(x +v y) ∈ (⊥ ‘A) ∧ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ (⊥ ‘A)(x ·s y) ∈ (⊥ ‘A))))
75	73, 74	sylibr 175	1 ⊢ (A ⊆ ℋ → (⊥ ‘A) ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {crab 1204   ⊆ wss 1487   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   + caddc 4031   · cmulc 4032   ℋ chil 4958   +_v cva 4959   ·_s csm 4960  0_vc0v 4961   ·_i csp 4963   S_ℋ csh 4967  ⊥cort 4969

This theorem is referenced by:  shocsh 5165  ocss 5166  occl 5188  spanssoc 5320  shslej 5339

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvzercl 4987  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his2 5046  ax-his3 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135  df-sh 5114  df-oc 5156

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