Theorem ocvalt 5161

Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
ocvalt	⊢ (H ⊆ ℋ → (⊥ ‘H) = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ H (x ·i y) = 0})

Distinct variable group(s):   x,y,H

Proof of Theorem ocvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 4983	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
2		elpw2g 1803	. . 3 ⊢ ( ℋ ∈ V → (H ∈ ℘ ℋ ↔ H ⊆ ℋ ))
3	1, 2	ax-mp 6	. 2 ⊢ (H ∈ ℘ ℋ ↔ H ⊆ ℋ )
4		raleq 1324	. . . 4 ⊢ (z = H → (∀y ∈ z (x ·i y) = 0 ↔ ∀y ∈ H (x ·i y) = 0))
5	4	birabsdv 1344	. . 3 ⊢ (z = H → {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ z (x ·i y) = 0} = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ H (x ·i y) = 0})
6		df-oc 5156	. . . 4 ⊢ ⊥ = {⟨z, w⟩∣(z ⊆ ℋ ∧ w = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ z (x ·i y) = 0})}
7		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ z ∈ V
8	7	elpw 1801	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ℘ ℋ ↔ z ⊆ ℋ )
9	8	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ ℘ ℋ ∧ w = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ z (x ·i y) = 0}) ↔ (z ⊆ ℋ ∧ w = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ z (x ·i y) = 0}))
10	9	biopabi 2103	. . . 4 ⊢ {⟨z, w⟩∣(z ∈ ℘ ℋ ∧ w = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ z (x ·i y) = 0})} = {⟨z, w⟩∣(z ⊆ ℋ ∧ w = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ z (x ·i y) = 0})}
11	6, 10	eqtr4 1122	. . 3 ⊢ ⊥ = {⟨z, w⟩∣(z ∈ ℘ ℋ ∧ w = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ z (x ·i y) = 0})}
12	1	rabex 1706	. . 3 ⊢ {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ H (x ·i y) = 0} ∈ V
13	5, 11, 12	fvopab4 2871	. 2 ⊢ (H ∈ ℘ ℋ → (⊥ ‘H) = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ H (x ·i y) = 0})
14	3, 13	sylbir 176	1 ⊢ (H ⊆ ℋ → (⊥ ‘H) = {x ∈ ℋ ∣∀y ∈ H (x ·i y) = 0})

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ℘cpw 1798  {copab 2055   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  0cc0 4028   ℋ chil 4958   ·_i csp 4963  ⊥cort 4969

This theorem is referenced by:  ocelt 5162  ocsh 5164  occont 5168  chocval 5178

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-oc 5156

metamath.org