Theorem oe0lem 3121

Description: A helper lemma for oe0 3130 and others.

Hypotheses

Ref	Expression
oe0lem.1	⊢ ((φ ∧ A = ∅) → ψ)
oe0lem.2	⊢ (((A ∈ On ∧ φ) ∧ ∅ ∈ A) → ψ)

Assertion

Ref	Expression
oe0lem	⊢ ((A ∈ On ∧ φ) → ψ)

Proof of Theorem oe0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oe0lem.1	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ A = ∅) → ψ)
2	1	exp 291	. . 3 ⊢ (φ → (A = ∅ → ψ))
3	2	adantl 305	. 2 ⊢ ((A ∈ On ∧ φ) → (A = ∅ → ψ))
4		on0eln0 2279	. . . 4 ⊢ (A ∈ On → (∅ ∈ A ↔ ¬ A = ∅))
5	4	adantr 306	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ φ) → (∅ ∈ A ↔ ¬ A = ∅))
6		oe0lem.2	. . . 4 ⊢ (((A ∈ On ∧ φ) ∧ ∅ ∈ A) → ψ)
7	6	exp 291	. . 3 ⊢ ((A ∈ On ∧ φ) → (∅ ∈ A → ψ))
8	5, 7	sylbird 180	. 2 ⊢ ((A ∈ On ∧ φ) → (¬ A = ∅ → ψ))
9	3, 8	pm2.61d 112	1 ⊢ ((A ∈ On ∧ φ) → ψ)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  oe0 3130  oesuc 3134  oecl 3140

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org