Theorem oe0m1 3129

Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67.

Assertion

Ref	Expression
oe0m1	⊢ ((A ∈ On ∧ ∅ ∈ A) → (∅ ↑o A) = ∅)

Proof of Theorem oe0m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oe0m 3127	. 2 ⊢ (A ∈ On → (∅ ↑o A) = (1o ∖ A))
2		snssi 1851	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ A → {∅} ⊆ A)
3		df1o2 3111	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
4	2, 3	syl5ss 1544	. . 3 ⊢ (∅ ∈ A → 1o ⊆ A)
5		ssdif0 1748	. . 3 ⊢ (1o ⊆ A ↔ (1o ∖ A) = ∅)
6	4, 5	sylib 173	. 2 ⊢ (∅ ∈ A → (1o ∖ A) = ∅)
7	1, 6	sylan9eq 1144	1 ⊢ ((A ∈ On ∧ ∅ ∈ A) → (∅ ↑o A) = ∅)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∖ cdif 1484   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  {csn 1808  Oncon0 2199  (class class class)co 3001  1_oc1o 3099   ↑_o coe 3103

This theorem is referenced by:  oesuc 3134  oecl 3140

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oexp 3108

metamath.org