Theorem ominf 3423

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136.

Assertion

Ref	Expression
ominf	⊢ ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (x = y → (ω ≈ x ↔ ω ≈ y))
2	1	cbvrexv 1334	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ω ω ≈ x ↔ ∃y ∈ ω ω ≈ y)
3		pssinf 3422	. . . . . 6 ⊢ ((y ⊂ ω ∧ y ≈ ω) → ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x)
4		nnord 2381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ ω → Ord y)
5		ordom 2382	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ord ω
6	4, 5	jctir 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ω → (Ord y ∧ Ord ω))
7		ordelssne 2225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord y ∧ Ord ω) → (y ∈ ω ↔ (y ⊆ ω ∧ ¬ y = ω)))
8	6, 7	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ω → (y ∈ ω ↔ (y ⊆ ω ∧ ¬ y = ω)))
9	8	ibi 449	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ω → (y ⊆ ω ∧ ¬ y = ω))
10		dfpss2 1557	. . . . . . 7 ⊢ (y ⊂ ω ↔ (y ⊆ ω ∧ ¬ y = ω))
11	9, 10	sylibr 175	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ω → y ⊂ ω)
12		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
13	12	ensym 3317	. . . . . 6 ⊢ (ω ≈ y → y ≈ ω)
14	3, 11, 13	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ ω ∧ ω ≈ y) → ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x)
15	14	exp 291	. . . 4 ⊢ (y ∈ ω → (ω ≈ y → ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x))
16	15	r19.23aiv 1284	. . 3 ⊢ (∃y ∈ ω ω ≈ y → ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x)
17	2, 16	sylbi 174	. 2 ⊢ (∃x ∈ ω ω ≈ x → ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x)
18		pm2.01 80	. 2 ⊢ ((∃x ∈ ω ω ≈ x → ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x) → ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x)
19	17, 18	ax-mp 6	1 ⊢ ¬ ∃x ∈ ω ω ≈ x

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  Ord word 2198  ωcom 2372   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  omsdomnn 3424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org