Theorem omlsi 5250

Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
omlsi.1	⊢ A ∈ Cℋ
omlsi.2	⊢ B ∈ Sℋ
omlsi.3	⊢ A ⊆ B
omlsi.4	⊢ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsi	⊢ A = B

Proof of Theorem omlsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsi.3	. 2 ⊢ A ⊆ B
2		omlsi.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ Sℋ
3	2	shel 5120	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → x ∈ ℋ )
4		omlsi.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ Cℋ
5		pjtht 5240	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ x ∈ ℋ ) → ∃y ∈ A ∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +v z))
6	4, 5	mpan 518	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → ∃y ∈ A ∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +v z))
7	3, 6	syl 12	. . . 4 ⊢ (x ∈ B → ∃y ∈ A ∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +v z))
8		cleq1 1107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = if(x ∈ B, x, 0v) → (x = (y +v z) ↔ if(x ∈ B, x, 0v) = (y +v z)))
9		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = if(x ∈ B, x, 0v) → (x ∈ A ↔ if(x ∈ B, x, 0v) ∈ A))
10	8, 9	imbi12d 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = if(x ∈ B, x, 0v) → ((x = (y +v z) → x ∈ A) ↔ (if(x ∈ B, x, 0v) = (y +v z) → if(x ∈ B, x, 0v) ∈ A)))
11		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = if(y ∈ A, y, 0v) → (y +v z) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v z))
12	11	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = if(y ∈ A, y, 0v) → (if(x ∈ B, x, 0v) = (y +v z) ↔ if(x ∈ B, x, 0v) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v z)))
13	12	imbi1d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = if(y ∈ A, y, 0v) → ((if(x ∈ B, x, 0v) = (y +v z) → if(x ∈ B, x, 0v) ∈ A) ↔ (if(x ∈ B, x, 0v) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v z) → if(x ∈ B, x, 0v) ∈ A)))
14		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0v) → (if(y ∈ A, y, 0v) +v z) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0v)))
15	14	cleq2d 1112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0v) → (if(x ∈ B, x, 0v) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v z) ↔ if(x ∈ B, x, 0v) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0v))))
16	15	imbi1d 465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0v) → ((if(x ∈ B, x, 0v) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v z) → if(x ∈ B, x, 0v) ∈ A) ↔ (if(x ∈ B, x, 0v) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0v)) → if(x ∈ B, x, 0v) ∈ A)))
17	4	chshi 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ A ∈ Sℋ
18		omlsi.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ
19		sh0 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (B ∈ Sℋ → 0v ∈ B)
20	2, 19	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0v ∈ B
21	20	elimel 1793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(x ∈ B, x, 0v) ∈ B
22		ch0 5133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ Cℋ → 0v ∈ A)
23	4, 22	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0v ∈ A
24	23	elimel 1793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(y ∈ A, y, 0v) ∈ A
25		shocsh 5165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ Sℋ → (⊥ ‘A) ∈ Sℋ )
26	17, 25	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Sℋ
27		sh0 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥ ‘A) ∈ Sℋ → 0v ∈ (⊥ ‘A))
28	26, 27	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0v ∈ (⊥ ‘A)
29	28	elimel 1793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0v) ∈ (⊥ ‘A)
30	17, 2, 1, 18, 21, 24, 29	omlsilem 5249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(x ∈ B, x, 0v) = (if(y ∈ A, y, 0v) +v if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0v)) → if(x ∈ B, x, 0v) ∈ A)
31	10, 13, 16, 30	dedth3h 1788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ A ∧ z ∈ (⊥ ‘A)) → (x = (y +v z) → x ∈ A))
32	31	3exp 611	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ B → (y ∈ A → (z ∈ (⊥ ‘A) → (x = (y +v z) → x ∈ A))))
33	32	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ A) → (z ∈ (⊥ ‘A) → (x = (y +v z) → x ∈ A)))
34	33	r19.23adv 1286	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ B ∧ y ∈ A) → (∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +v z) → x ∈ A))
35	34	exp 291	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → (y ∈ A → (∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +v z) → x ∈ A)))
36	35	r19.23adv 1286	. . . 4 ⊢ (x ∈ B → (∃y ∈ A ∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +v z) → x ∈ A))
37	7, 36	mpd 46	. . 3 ⊢ (x ∈ B → x ∈ A)
38	37	ssriv 1508	. 2 ⊢ B ⊆ A
39	1, 38	eqssi 1517	1 ⊢ A = B

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ifcif 1776   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  0_ℋc0h 4974

This theorem is referenced by:  omls 5251  ococ 5252  fh1 5518  fh2 5519  qlaxr3 5529  hatomistic 5755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157

metamath.org