Theorem omsmo 3196

Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one.

Assertion

Ref	Expression
omsmo	⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → F:ω–1-1→A)

Distinct variable group(s):   x,A   x,F

Proof of Theorem omsmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.27 260	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) → F:ω–→A)
2	1	adantr 306	. . 3 ⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → F:ω–→A)
3		omsmolem 3195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ ω → (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → (y ∈ z → (F ‘y) ∈ (F ‘z))))
4	3	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → (y ∈ z → (F ‘y) ∈ (F ‘z))))
5	4	imp 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) ∧ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x))) → (y ∈ z → (F ‘y) ∈ (F ‘z)))
6		omsmolem 3195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ω → (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → (z ∈ y → (F ‘z) ∈ (F ‘y))))
7	6	adantr 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → (z ∈ y → (F ‘z) ∈ (F ‘y))))
8	7	imp 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) ∧ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x))) → (z ∈ y → (F ‘z) ∈ (F ‘y)))
9	5, 8	orim12d 436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) ∧ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x))) → ((y ∈ z ∨ z ∈ y) → ((F ‘y) ∈ (F ‘z) ∨ (F ‘z) ∈ (F ‘y))))
10	9	ancoms 334	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) ∧ (y ∈ ω ∧ z ∈ ω)) → ((y ∈ z ∨ z ∈ y) → ((F ‘y) ∈ (F ‘z) ∨ (F ‘z) ∈ (F ‘y))))
11	10	con3d 87	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) ∧ (y ∈ ω ∧ z ∈ ω)) → (¬ ((F ‘y) ∈ (F ‘z) ∨ (F ‘z) ∈ (F ‘y)) → ¬ (y ∈ z ∨ z ∈ y)))
12		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ⊆ On → ((F ‘y) ∈ A → (F ‘y) ∈ On))
13		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((F:ω–→A ∧ y ∈ ω) → (F ‘y) ∈ A)
14	12, 13	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ On → ((F:ω–→A ∧ y ∈ ω) → (F ‘y) ∈ On))
15	14	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ On → (F:ω–→A → (y ∈ ω → (F ‘y) ∈ On)))
16	15	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) → (y ∈ ω → (F ‘y) ∈ On))
17		eloni 2209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((F ‘y) ∈ On → Ord (F ‘y))
18	16, 17	syl6 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) → (y ∈ ω → Ord (F ‘y)))
19		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ⊆ On → ((F ‘z) ∈ A → (F ‘z) ∈ On))
20		ffvrn 2890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((F:ω–→A ∧ z ∈ ω) → (F ‘z) ∈ A)
21	19, 20	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ On → ((F:ω–→A ∧ z ∈ ω) → (F ‘z) ∈ On))
22	21	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ On → (F:ω–→A → (z ∈ ω → (F ‘z) ∈ On)))
23	22	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) → (z ∈ ω → (F ‘z) ∈ On))
24		eloni 2209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((F ‘z) ∈ On → Ord (F ‘z))
25	23, 24	syl6 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) → (z ∈ ω → Ord (F ‘z)))
26	18, 25	anim12d 431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) → ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → (Ord (F ‘y) ∧ Ord (F ‘z))))
27	26	imp 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ (y ∈ ω ∧ z ∈ ω)) → (Ord (F ‘y) ∧ Ord (F ‘z)))
28		ordtri3 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord (F ‘y) ∧ Ord (F ‘z)) → ((F ‘y) = (F ‘z) ↔ ¬ ((F ‘y) ∈ (F ‘z) ∨ (F ‘z) ∈ (F ‘y))))
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ (y ∈ ω ∧ z ∈ ω)) → ((F ‘y) = (F ‘z) ↔ ¬ ((F ‘y) ∈ (F ‘z) ∨ (F ‘z) ∈ (F ‘y))))
30	29	adantlr 310	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) ∧ (y ∈ ω ∧ z ∈ ω)) → ((F ‘y) = (F ‘z) ↔ ¬ ((F ‘y) ∈ (F ‘z) ∨ (F ‘z) ∈ (F ‘y))))
31		ordtri3 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Ord y ∧ Ord z) → (y = z ↔ ¬ (y ∈ z ∨ z ∈ y)))
32		nnord 2381	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ ω → Ord y)
33		nnord 2381	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ ω → Ord z)
34	31, 32, 33	syl2an 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ω ∧ z ∈ ω) → (y = z ↔ ¬ (y ∈ z ∨ z ∈ y)))
35	34	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) ∧ (y ∈ ω ∧ z ∈ ω)) → (y = z ↔ ¬ (y ∈ z ∨ z ∈ y)))
36	11, 30, 35	3imtr4d 421	. . . . . 6 ⊢ ((((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) ∧ (y ∈ ω ∧ z ∈ ω)) → ((F ‘y) = (F ‘z) → y = z))
37	36	exp32 294	. . . . 5 ⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → (y ∈ ω → (z ∈ ω → ((F ‘y) = (F ‘z) → y = z))))
38	37	r19.21adv 1262	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → (y ∈ ω → ∀z ∈ ω ((F ‘y) = (F ‘z) → y = z)))
39	38	r19.21aiv 1259	. . 3 ⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → ∀y ∈ ω ∀z ∈ ω ((F ‘y) = (F ‘z) → y = z))
40	2, 39	jca 236	. 2 ⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → (F:ω–→A ∧ ∀y ∈ ω ∀z ∈ ω ((F ‘y) = (F ‘z) → y = z)))
41		f1fv 2916	. 2 ⊢ (F:ω–1-1→A ↔ (F:ω–→A ∧ ∀y ∈ ω ∀z ∈ ω ((F ‘y) = (F ‘z) → y = z)))
42	40, 41	sylibr 175	1 ⊢ (((A ⊆ On ∧ F:ω–→A) ∧ ∀x ∈ ω (F ‘x) ∈ (F ‘suc x)) → F:ω–1-1→A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = weq 797   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372  –→wf 2418  –1-1→wf1 2419   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  unblem4 3434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438

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