Theorem omsson 2377

Description: Omega is a subset of On.

Assertion

Ref	Expression
omsson	⊢ ω ⊆ On

Proof of Theorem omsson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
2	1	elom 2375	. . . 4 ⊢ (x ∈ ω ↔ (Ord x ∧ ∀y(Lim y → x ∈ y)))
3	2	pm3.26bd 259	. . 3 ⊢ (x ∈ ω → Ord x)
4	1	elon 2208	. . 3 ⊢ (x ∈ On ↔ Ord x)
5	3, 4	sylibr 175	. 2 ⊢ (x ∈ ω → x ∈ On)
6	5	ssriv 1508	1 ⊢ ω ⊆ On

Syntax hints:   → wi 2  ∀wal 672   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Ord word 2198  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  ωcom 2372

This theorem is referenced by:  limomss 2378  nnont 2379  ordom 2382  frfnom 2989  unblem1 3431  unblem2 3432  unblem3 3433  unblem4 3434  isfinite2 3437  dmaddpi 3812  dmmulpi 3813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-om 2373

metamath.org