Theorem omsucdom 3418

Description: Strict dominance of natural numbers is the same as dominance over the successor of the smaller.

Assertion

Ref	Expression
omsucdom	⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≺ B ↔ suc A ≼ B))

Proof of Theorem omsucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelpss 2226	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ A ⊂ B))
2		nnord 2381	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ω → Ord A)
3	1, 2	sylan 343	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ω ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ A ⊂ B))
4		ordelsuc 2322	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ω ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ⊆ B))
5	3, 4	bitr3d 408	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ∧ Ord B) → (A ⊂ B ↔ suc A ⊆ B))
6		nnord 2381	. . 3 ⊢ (B ∈ ω → Ord B)
7	5, 6	sylan2 346	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ⊂ B ↔ suc A ⊆ B))
8		nnsdomo 3417	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≺ B ↔ A ⊂ B))
9		nndomo 3416	. . 3 ⊢ ((suc A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (suc A ≼ B ↔ suc A ⊆ B))
10		peano2b 2388	. . 3 ⊢ (A ∈ ω ↔ suc A ∈ ω)
11	9, 10	sylanb 344	. 2 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (suc A ≼ B ↔ suc A ⊆ B))
12	7, 8, 11	3bitr4d 424	1 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ≺ B ↔ suc A ≼ B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  Ord word 2198  suc csuc 2201  ωcom 2372   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  finsucdom 3421

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org