Theorem ondomon 3662

Description: The collection of ordinal numbers dominated by a set is an ordinal number. (In general, not all collections of ordinal numbers are ordinal.) Theorem 56 of [Suppes] p. 227.

Assertion

Ref	Expression
ondomon	⊢ (A ∈ B → {x ∈ On∣x ≼ A} ∈ On)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem ondomon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 3320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ≼ z ∧ z ≼ A) → y ≼ A)
2	1	anim2i 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ On ∧ (y ≼ z ∧ z ≼ A)) → (y ∈ On ∧ y ≼ A))
3	2	anassrs 338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ∈ On ∧ y ≼ z) ∧ z ≼ A) → (y ∈ On ∧ y ≼ A))
4		onelon 2223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ On ∧ y ∈ z) → y ∈ On)
5		onelsst 2255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ On → (y ∈ z → y ⊆ z))
6	5	imp 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ On ∧ y ∈ z) → y ⊆ z)
7		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ y ∈ V
8		ssdomg 3311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ V → (y ⊆ z → y ≼ z))
9	7, 8	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ⊆ z → y ≼ z)
10	6, 9	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ On ∧ y ∈ z) → y ≼ z)
11	4, 10	jca 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ On ∧ y ∈ z) → (y ∈ On ∧ y ≼ z))
12	3, 11	sylan 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ On ∧ y ∈ z) ∧ z ≼ A) → (y ∈ On ∧ y ≼ A))
13	12	exp31 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ On → (y ∈ z → (z ≼ A → (y ∈ On ∧ y ≼ A))))
14	13	com12 13	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ z → (z ∈ On → (z ≼ A → (y ∈ On ∧ y ≼ A))))
15	14	imp3a 279	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ z → ((z ∈ On ∧ z ≼ A) → (y ∈ On ∧ y ≼ A)))
16		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (x ≼ A ↔ z ≼ A))
17	16	elrab 1422	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ {x ∈ On∣x ≼ A} ↔ (z ∈ On ∧ z ≼ A))
18		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → (x ≼ A ↔ y ≼ A))
19	18	elrab 1422	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ {x ∈ On∣x ≼ A} ↔ (y ∈ On ∧ y ≼ A))
20	15, 17, 19	3imtr4g 426	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ z → (z ∈ {x ∈ On∣x ≼ A} → y ∈ {x ∈ On∣x ≼ A}))
21	20	imp 277	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ z ∧ z ∈ {x ∈ On∣x ≼ A}) → y ∈ {x ∈ On∣x ≼ A})
22	21	gen2 681	. . . 4 ⊢ ∀y∀z((y ∈ z ∧ z ∈ {x ∈ On∣x ≼ A}) → y ∈ {x ∈ On∣x ≼ A})
23		dftr2 2043	. . . 4 ⊢ (Tr {x ∈ On∣x ≼ A} ↔ ∀y∀z((y ∈ z ∧ z ∈ {x ∈ On∣x ≼ A}) → y ∈ {x ∈ On∣x ≼ A}))
24	22, 23	mpbir 165	. . 3 ⊢ Tr {x ∈ On∣x ≼ A}
25		ssrab 1556	. . 3 ⊢ {x ∈ On∣x ≼ A} ⊆ On
26		ordon 2238	. . 3 ⊢ Ord On
27		trssord 2216	. . 3 ⊢ ((Tr {x ∈ On∣x ≼ A} ∧ {x ∈ On∣x ≼ A} ⊆ On ∧ Ord On) → Ord {x ∈ On∣x ≼ A})
28	24, 25, 26, 27	mp3an 642	. 2 ⊢ Ord {x ∈ On∣x ≼ A}
29		elisset 1354	. . . . 5 ⊢ (A ∈ B → A ∈ V)
30		domsdomtr 3374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ≼ A ∧ A ≺ ℘A) → x ≺ ℘A)
31		canth2g 3382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ V → A ≺ ℘A)
32	30, 31	sylan2 346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ≼ A ∧ A ∈ V) → x ≺ ℘A)
33	32	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (x ≼ A → (A ∈ V → x ≺ ℘A))
34	33	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → (x ≼ A → x ≺ ℘A))
35	34	a1d 14	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → (x ∈ On → (x ≼ A → x ≺ ℘A)))
36	35	r19.21aiv 1259	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → ∀x ∈ On (x ≼ A → x ≺ ℘A))
37	29, 36	syl 12	. . . 4 ⊢ (A ∈ B → ∀x ∈ On (x ≼ A → x ≺ ℘A))
38		ss2rab 1553	. . . 4 ⊢ ({x ∈ On∣x ≼ A} ⊆ {x ∈ On∣x ≺ ℘A} ↔ ∀x ∈ On (x ≼ A → x ≺ ℘A))
39	37, 38	sylibr 175	. . 3 ⊢ (A ∈ B → {x ∈ On∣x ≼ A} ⊆ {x ∈ On∣x ≺ ℘A})
40		cardval2 3661	. . . . 5 ⊢ (card ‘℘A) = {x ∈ On∣x ≺ ℘A}
41		fvex 2838	. . . . 5 ⊢ (card ‘℘A) ∈ V
42	40, 41	eqeltrr 1160	. . . 4 ⊢ {x ∈ On∣x ≺ ℘A} ∈ V
43	42	ssex 1700	. . 3 ⊢ ({x ∈ On∣x ≼ A} ⊆ {x ∈ On∣x ≺ ℘A} → {x ∈ On∣x ≼ A} ∈ V)
44		elong 2207	. . 3 ⊢ ({x ∈ On∣x ≼ A} ∈ V → ({x ∈ On∣x ≼ A} ∈ On ↔ Ord {x ∈ On∣x ≼ A}))
45	39, 43, 44	3syl 21	. 2 ⊢ (A ∈ B → ({x ∈ On∣x ≼ A} ∈ On ↔ Ord {x ∈ On∣x ≼ A}))
46	28, 45	mpbiri 169	1 ⊢ (A ∈ B → {x ∈ On∣x ≼ A} ∈ On)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ℘cpw 1798  Tr wtr 2041   class class class wbr 2054  Ord word 2198  Oncon0 2199   ‘cfv 2422   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273  cardccrd 3620

This theorem is referenced by:  ondomcard 3663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

metamath.org