Theorem onelsst 2255

Description: An element of an ordinal number is a subset of the number.

Assertion

Ref	Expression
onelsst	⊢ (A ∈ On → (B ∈ A → B ⊆ A))

Proof of Theorem onelsst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 2209	. 2 ⊢ (A ∈ On → Ord A)
2		ordtr 2213	. 2 ⊢ (Ord A → Tr A)
3		trss 2050	. 2 ⊢ (Tr A → (B ∈ A → B ⊆ A))
4	1, 2, 3	3syl 21	1 ⊢ (A ∈ On → (B ∈ A → B ⊆ A))

Syntax hints:   → wi 2   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Tr wtr 2041  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  ordunidif 2260  suceloni 2314  onelss 2348  snsn0non 2371  tfrlem1 2949  tfrlem5 2953  tfrlem9 2957  tfrlem11 2959  oaordex 3160  oaass 3163  ondomon 3662  cfub 3703  cfsuc 3709

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org