Theorem onfr 2237

Description: The ordinal class is founded. This lemma is needed for ordon 2238 in order to eliminate the need for the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
onfr	⊢ E Fr On

Proof of Theorem onfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfepfr 2184	. 2 ⊢ (E Fr On ↔ ∀x((x ⊆ On ∧ ¬ x = ∅) → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
2		ineq2 1639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = y → (x ∩ z) = (x ∩ y))
3	2	cleq1d 1109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = y → ((x ∩ z) = ∅ ↔ (x ∩ y) = ∅))
4	3	rcla4ev 1403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ x ∧ (x ∩ y) = ∅) → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅)
5	4	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ x → ((x ∩ y) = ∅ → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
6	5	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∩ y) = ∅ → (y ∈ x → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
7	6	a1d 14	. . . . . 6 ⊢ ((x ∩ y) = ∅ → (x ⊆ On → (y ∈ x → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅)))
8		ssel 1502	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ⊆ On → (y ∈ x → y ∈ On))
9		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
10	9	elon 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ On ↔ Ord y)
11	8, 10	syl6ib 185	. . . . . . . 8 ⊢ (x ⊆ On → (y ∈ x → Ord y))
12		inss2 1658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∩ y) ⊆ y
13		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ x ∈ V
14	13	inex1 1697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∩ y) ∈ V
15	14	epfrc 2185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((E Fr y ∧ ((x ∩ y) ⊆ y ∧ ¬ (x ∩ y) = ∅)) → ∃z ∈ (x ∩ y)((x ∩ y) ∩ z) = ∅)
16	15	exp 291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (E Fr y → (((x ∩ y) ⊆ y ∧ ¬ (x ∩ y) = ∅) → ∃z ∈ (x ∩ y)((x ∩ y) ∩ z) = ∅))
17	12, 16	mpani 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (E Fr y → (¬ (x ∩ y) = ∅ → ∃z ∈ (x ∩ y)((x ∩ y) ∩ z) = ∅))
18		ax-17 925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Tr y → ∀zTr y)
19		hbre1 1239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅ → ∀z∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅)
20		inss1 1657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∩ y) ⊆ x
21	20	sseli 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ (x ∩ y) → z ∈ x)
22		trss 2050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Tr y → (z ∈ y → z ⊆ y))
23	12	sseli 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ∈ (x ∩ y) → z ∈ y)
24	22, 23	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Tr y → (z ∈ (x ∩ y) → z ⊆ y))
25		sseqin2 1656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (z ⊆ y ↔ (y ∩ z) = z)
26		ineq2 1639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((y ∩ z) = z → (x ∩ (y ∩ z)) = (x ∩ z))
27		inass 1650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((x ∩ y) ∩ z) = (x ∩ (y ∩ z))
28	26, 27	syl5req 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((y ∩ z) = z → (x ∩ z) = ((x ∩ y) ∩ z))
29	25, 28	sylbi 174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (z ⊆ y → (x ∩ z) = ((x ∩ y) ∩ z))
30	29	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ⊆ y → ((x ∩ z) = ∅ ↔ ((x ∩ y) ∩ z) = ∅))
31	30	biimprcd 138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((x ∩ y) ∩ z) = ∅ → (z ⊆ y → (x ∩ z) = ∅))
32	24, 31	sylan9 359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((Tr y ∧ ((x ∩ y) ∩ z) = ∅) → (z ∈ (x ∩ y) → (x ∩ z) = ∅))
33	32	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((Tr y ∧ ((x ∩ y) ∩ z) = ∅) ∧ z ∈ (x ∩ y)) → (x ∩ z) = ∅)
34	21, 33	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ (x ∩ y) ∧ ((Tr y ∧ ((x ∩ y) ∩ z) = ∅) ∧ z ∈ (x ∩ y))) → (z ∈ x ∧ (x ∩ z) = ∅))
35	34	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ (x ∩ y) → ((Tr y ∧ ((x ∩ y) ∩ z) = ∅) → (z ∈ (x ∩ y) → (z ∈ x ∧ (x ∩ z) = ∅))))
36	35	pm2.43b 61	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Tr y ∧ ((x ∩ y) ∩ z) = ∅) → (z ∈ (x ∩ y) → (z ∈ x ∧ (x ∩ z) = ∅)))
37	36	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr y → (((x ∩ y) ∩ z) = ∅ → (z ∈ (x ∩ y) → (z ∈ x ∧ (x ∩ z) = ∅))))
38	37	com23 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr y → (z ∈ (x ∩ y) → (((x ∩ y) ∩ z) = ∅ → (z ∈ x ∧ (x ∩ z) = ∅))))
39		ra4e 1244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ x ∧ (x ∩ z) = ∅) → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅)
40	38, 39	syl8 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Tr y → (z ∈ (x ∩ y) → (((x ∩ y) ∩ z) = ∅ → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅)))
41	18, 19, 40	r19.23ad 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Tr y → (∃z ∈ (x ∩ y)((x ∩ y) ∩ z) = ∅ → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
42	17, 41	sylan9 359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((E Fr y ∧ Tr y) → (¬ (x ∩ y) = ∅ → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
43		ordfr 2214	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord y → E Fr y)
44		ordtr 2213	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord y → Tr y)
45	42, 43, 44	sylanc 361	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord y → (¬ (x ∩ y) = ∅ → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
46	11, 45	syl6 23	. . . . . . 7 ⊢ (x ⊆ On → (y ∈ x → (¬ (x ∩ y) = ∅ → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅)))
47	46	com3r 35	. . . . . 6 ⊢ (¬ (x ∩ y) = ∅ → (x ⊆ On → (y ∈ x → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅)))
48	7, 47	pm2.61i 110	. . . . 5 ⊢ (x ⊆ On → (y ∈ x → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
49	48	19.23adv 954	. . . 4 ⊢ (x ⊆ On → (∃y y ∈ x → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
50		n0 1714	. . . 4 ⊢ (¬ x = ∅ ↔ ∃y y ∈ x)
51	49, 50	syl5ib 181	. . 3 ⊢ (x ⊆ On → (¬ x = ∅ → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅))
52	51	imp 277	. 2 ⊢ ((x ⊆ On ∧ ¬ x = ∅) → ∃z ∈ x (x ∩ z) = ∅)
53	1, 52	mpgbir 686	1 ⊢ E Fr On

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  Tr wtr 2041  Ecep 2056   Fr wfr 2061  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  ordon 2238

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

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