Theorem onint0 2262

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero.

Assertion

Ref	Expression
onint0	⊢ (A ⊆ On → (∩A = ∅ ↔ ∅ ∈ A))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 2261	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → ∩A ∈ A)
2		0ex 1745	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
3		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (∩A = ∅ → (∩A ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
4	2, 3	mpbiri 169	. . . . . 6 ⊢ (∩A = ∅ → ∩A ∈ V)
5		intex 1986	. . . . . 6 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∩A ∈ V)
6	4, 5	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ (∩A = ∅ → ¬ A = ∅)
7	1, 6	sylan2 346	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ∩A = ∅) → ∩A ∈ A)
8		eleq1 1149	. . . . 5 ⊢ (∩A = ∅ → (∩A ∈ A ↔ ∅ ∈ A))
9	8	adantl 305	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ∩A = ∅) → (∩A ∈ A ↔ ∅ ∈ A))
10	7, 9	mpbid 170	. . 3 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ∩A = ∅) → ∅ ∈ A)
11	10	exp 291	. 2 ⊢ (A ⊆ On → (∩A = ∅ → ∅ ∈ A))
12		int0el 1985	. . 3 ⊢ (∅ ∈ A → ∩A = ∅)
13	12	a1i 7	. 2 ⊢ (A ⊆ On → (∅ ∈ A → ∩A = ∅))
14	11, 13	impbid 397	1 ⊢ (A ⊆ On → (∩A = ∅ ↔ ∅ ∈ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∩cint 1965  Oncon0 2199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org