Theorem oninton 2267

Description: The intersection of a non-empty collection of ordinals is an ordinal number. Compare Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
oninton	⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → ∩A ∈ On)

Proof of Theorem oninton

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 2261	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → ∩A ∈ A)
2	1	exp 291	. . 3 ⊢ (A ⊆ On → (¬ A = ∅ → ∩A ∈ A))
3		ssel 1502	. . 3 ⊢ (A ⊆ On → (∩A ∈ A → ∩A ∈ On))
4	2, 3	syld 27	. 2 ⊢ (A ⊆ On → (¬ A = ∅ → ∩A ∈ On))
5	4	imp 277	1 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → ∩A ∈ On)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∩cint 1965  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  onintrab 2268  onnmin 2270  onminex 2275  onmindif2 2313  iinon 2948  oawordeulem 3156  tz9.12lem1 3503  rankon 3515  oncardval 3626  oncardon 3627  cardon 3634

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org