Theorem onssmin 2263

Description: A non-empty class of ordinal numbers has a smallest member. Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
onssmin	⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ⊆ y)

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem onssmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 2261	. . 3 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → ∩A ∈ A)
2		intss1 1979	. . . 4 ⊢ (y ∈ A → ∩A ⊆ y)
3	2	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀y ∈ A ∩A ⊆ y
4	1, 3	jctir 241	. 2 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → (∩A ∈ A ∧ ∀y ∈ A ∩A ⊆ y))
5		sseq1 1521	. . . 4 ⊢ (x = ∩A → (x ⊆ y ↔ ∩A ⊆ y))
6	5	biraldv 1219	. . 3 ⊢ (x = ∩A → (∀y ∈ A x ⊆ y ↔ ∀y ∈ A ∩A ⊆ y))
7	6	rcla4ev 1403	. 2 ⊢ ((∩A ∈ A ∧ ∀y ∈ A ∩A ⊆ y) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ⊆ y)
8	4, 7	syl 12	1 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ⊆ y)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∩cint 1965  Oncon0 2199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org