Theorem ontri1 2232

Description: A trichotomy law for ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ A))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 2231	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ Ord B) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ A))
2		eloni 2209	. 2 ⊢ (A ∈ On → Ord A)
3		eloni 2209	. 2 ⊢ (B ∈ On → Ord B)
4	1, 2, 3	syl2an 349	1 ⊢ ((A ∈ On ∧ B ∈ On) → (A ⊆ B ↔ ¬ B ∈ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  onint 2261  onnmin 2270  oneqmini 2272  onmindif 2312  onmindif2 2313  dfom2 2374  oawordeulem 3156  rankr1lem 3517  rankr1 3518  rankr1a 3521  rankel 3524  unbndrank 3527  cardne 3637  carden 3638  carddom 3642  domtri 3644  sdomel 3653  cardsdomel 3658  ondomcard 3663  cardprc 3667  alephord 3680  alephord3 3683  alephle 3689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org