Theorem opelcnv 2518

Description: Ordered-pair membership in converse.

Hypotheses

Ref	Expression
opelcnv.1	⊢ A ∈ V
opelcnv.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opelcnv	⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R)

Proof of Theorem opelcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelcnv.1	. 2 ⊢ A ∈ V
2		opelcnv.2	. 2 ⊢ B ∈ V
3		opelcnvg 2517	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R))
4	1, 2, 3	mp2an 520	1 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810  ^◡ccnv 2409

This theorem is referenced by:  brcnv 2519  cnvopab 2632  cnv0 2633  cnvsn 2636  cnvun 2642  cnvin 2643  cnvxp 2651  dfrel2 2660  dmco2 2673  fcnvres 2768  pw2en 3348  sbthcl 3361  brsdom2 3363

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426

metamath.org