Theorem opelcnvg 2517

Description: Ordered-pair membership in converse.

Assertion

Ref	Expression
opelcnvg	⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R))

Proof of Theorem opelcnvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (x = A → (yRx ↔ yRA))
2		breq1 2065	. . . 4 ⊢ (y = B → (yRA ↔ BRA))
3	1, 2	opelopabg 2115	. . 3 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (⟨A, B⟩ ∈ {⟨x, y⟩∣yRx} ↔ BRA))
4		df-cnv 2426	. . . 4 ⊢ ◡R = {⟨x, y⟩∣yRx}
5	4	eleq2i 1153	. . 3 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨A, B⟩ ∈ {⟨x, y⟩∣yRx})
6	3, 5	syl5bb 410	. 2 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ BRA))
7		df-br 2063	. 2 ⊢ (BRA ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R)
8	6, 7	syl6bb 414	1 ⊢ ((A ∈ C ∧ B ∈ D) → (⟨A, B⟩ ∈ ◡R ↔ ⟨B, A⟩ ∈ R))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  {copab 2055  ^◡ccnv 2409

This theorem is referenced by:  opelcnv 2518  leltt 4278

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426

metamath.org