Theorem opelres 2579

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25.

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opelres	⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (C ↾ D) ↔ (⟨A, B⟩ ∈ C ∧ A ∈ D))

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 2430	. . 3 ⊢ (C ↾ D) = (C ∩ (D × V))
2	1	eleq2i 1153	. 2 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (C ↾ D) ↔ ⟨A, B⟩ ∈ (C ∩ (D × V)))
3		elin 1635	. 2 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (C ∩ (D × V)) ↔ (⟨A, B⟩ ∈ C ∧ ⟨A, B⟩ ∈ (D × V)))
4		opelres.1	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
5	4	opelxp 2452	. . . 4 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (D × V) ↔ (A ∈ D ∧ B ∈ V))
6	5, 4	mpbiranr 548	. . 3 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (D × V) ↔ A ∈ D)
7	6	anbi2i 367	. 2 ⊢ ((⟨A, B⟩ ∈ C ∧ ⟨A, B⟩ ∈ (D × V)) ↔ (⟨A, B⟩ ∈ C ∧ A ∈ D))
8	2, 3, 7	3bitr 155	1 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (C ↾ D) ↔ (⟨A, B⟩ ∈ C ∧ A ∈ D))

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∩ cin 1486  ⟨cop 1810   × cxp 2408   ↾ cres 2412

This theorem is referenced by:  opres 2580  dmres 2584  relssres 2596  iss 2599  cores 2659  funssres 2698  fcoi1 2765  fcoi2 2766  fcnvres 2768

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424  df-res 2430

metamath.org