Theorem opeq12 1878

Description: Equality theorem for ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
opeq12	⊢ ((A = C ∧ B = D) → ⟨A, B⟩ = ⟨C, D⟩)

Proof of Theorem opeq12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 1876	. 2 ⊢ (A = C → ⟨A, B⟩ = ⟨C, B⟩)
2		opeq2 1877	. 2 ⊢ (B = D → ⟨C, B⟩ = ⟨C, D⟩)
3	1, 2	sylan9eq 1144	1 ⊢ ((A = C ∧ B = D) → ⟨A, B⟩ = ⟨C, D⟩)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091  ⟨cop 1810

This theorem is referenced by:  opth 1898  copsex2g 1903  cbvopab 2104  opabsb 2114  opelopabg 2115  fsn 2895  fnressn 2897  cbvoprab12 3028  elxp6 3093  brecop 3242  th3q 3253  ecoprcom 3255  ecoprass 3256  ecoprdi 3257  xpassen 3344  xpmapenlem3 3393  mapunen 3397  addpipq 3848  mulpipq 3849  1qec 3862  mulidpq 3863  halfpq 3876  prlem934a 3931  prlem934b 3932  addsrpr 3978  mulsrpr 3979  addcnsr 4047  mulcnsr 4048  mulresr 4051  ax0id 4076  ax1id 4077  axnegex 4078  axrecex 4079  axcnre 4087  seqlem1 4662  seqrval 4664  seqsuclem 4669  ruclem4 4888  ruclem15 4899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-un 1490  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815

metamath.org