Theorem oprabex 3044

Description: Existence of an operation abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex.1	⊢ A ∈ V
oprabex.2	⊢ B ∈ V
oprabex.3	⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃*zφ)
oprabex.4	⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)}

Assertion

Ref	Expression
oprabex	⊢ F ∈ V

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem oprabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex.4	. 2 ⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)}
2		oprabex.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
3		oprabex.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
4	2, 3	xpex 2488	. . . 4 ⊢ (A × B) ∈ V
5		dmoprabss 3032	. . . 4 ⊢ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ⊆ (A × B)
6	4, 5	ssexi 1701	. . 3 ⊢ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ∈ V
7		oprabex.3	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃*zφ)
8		moanimv 1052	. . . . 5 ⊢ (∃*z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ) ↔ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃*zφ))
9	7, 8	mpbir 165	. . . 4 ⊢ ∃*z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)
10	9	funoprab 3037	. . 3 ⊢ Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)}
11		funex 2741	. . 3 ⊢ (dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ∈ V → (Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} → {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ∈ V))
12	6, 10, 11	mp2 43	. 2 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ φ)} ∈ V
13	1, 12	eqeltr 1159	1 ⊢ F ∈ V

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃*wmo 1008   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   × cxp 2408  dom cdm 2410  Fun wfun 2416  {copab2 3002

This theorem is referenced by:  oprabex2 3045  oprabex3 3046

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-oprab 3004

metamath.org