Theorem oprabvalig 3048

Description: The value of an operation abstraction (weak version).

Hypotheses

Ref	Expression
oprabvalig.1	⊢ (x = A → (φ ↔ ψ))
oprabvalig.2	⊢ (y = B → (ψ ↔ χ))
oprabvalig.3	⊢ (z = C → (χ ↔ θ))
oprabvalig.4	⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) → ∃*zφ)
oprabvalig.5	⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}

Assertion

Ref	Expression
oprabvalig	⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (θ → (AFB) = C))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   x,D,y,z   ψ,x   χ,x,y   θ,x,y,z

Proof of Theorem oprabvalig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = A → (x ∈ R ↔ A ∈ R))
2	1	anbi1d 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = A → ((x ∈ R ∧ y ∈ S) ↔ (A ∈ R ∧ y ∈ S)))
3		oprabvalig.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = A → (φ ↔ ψ))
4	2, 3	anbi12d 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = A → (((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ) ↔ ((A ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ ψ)))
5		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = B → (y ∈ S ↔ B ∈ S))
6	5	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = B → ((A ∈ R ∧ y ∈ S) ↔ (A ∈ R ∧ B ∈ S)))
7		oprabvalig.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = B → (ψ ↔ χ))
8	6, 7	anbi12d 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = B → (((A ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ ψ) ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ χ)))
9		oprabvalig.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = C → (χ ↔ θ))
10	9	anbi2d 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = C → (((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ χ) ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)))
11	4, 8, 10	eloprabg 3035	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ↔ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)))
12	11	biimpar 325	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) ∧ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) ∧ θ)) → ⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)})
13	12	exp32 294	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → ((A ∈ R ∧ B ∈ S) → (θ → ⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)})))
14	13	com12 13	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S) → ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (θ → ⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)})))
15	14	3adant3 599	. . . 4 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (θ → ⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)})))
16	15	pm2.43i 58	. . 3 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (θ → ⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}))
17		oprabvalig.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) → ∃*zφ)
18		moanimv 1052	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*z((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ) ↔ ((x ∈ R ∧ y ∈ S) → ∃*zφ))
19	17, 18	mpbir 165	. . . . . . 7 ⊢ ∃*z((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)
20	19	funoprab 3037	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}
21		funopfvg 2854	. . . . . 6 ⊢ ((C ∈ D ∧ Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}) → (⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C))
22	20, 21	mpan2 519	. . . . 5 ⊢ (C ∈ D → (⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C))
23	22	adantl 305	. . . 4 ⊢ ((B ∈ S ∧ C ∈ D) → (⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C))
24	23	3adant1 597	. . 3 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (⟨⟨A, B⟩, C⟩ ∈ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C))
25	16, 24	syld 27	. 2 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (θ → ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C))
26		df-opr 3003	. . . 4 ⊢ (AFB) = (F ‘⟨A, B⟩)
27		oprabvalig.5	. . . . 5 ⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)}
28	27	fveq1i 2833	. . . 4 ⊢ (F ‘⟨A, B⟩) = ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩)
29	26, 28	eqtr 1119	. . 3 ⊢ (AFB) = ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩)
30	29	cleq1i 1108	. 2 ⊢ ((AFB) = C ↔ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ S) ∧ φ)} ‘⟨A, B⟩) = C)
31	25, 30	syl6ibr 186	1 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ S ∧ C ∈ D) → (θ → (AFB) = C))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581  ∃*wmo 1008   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810  Fun wfun 2416   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  {copab2 3002

This theorem is referenced by:  oprabvali 3049  oprabval2g 3050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004

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