Theorem oprec 3254

Description: Express an operation on equivalence classes of ordered pairs in terms of equivalence class of operations on ordered pairs.

Hypotheses

Ref	Expression
oprec.1	⊢ H ∈ V
oprec.2	⊢ K ∈ V
oprec.3	⊢ L ∈ V
oprec.4	⊢ R ∈ V
oprec.5	⊢ Er R
oprec.6	⊢ dom R = (S × S)
oprec.7	⊢ R = {⟨x, y⟩∣((x ∈ (S × S) ∧ y ∈ (S × S)) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = ⟨z, w⟩ ∧ y = ⟨v, u⟩) ∧ φ))}
oprec.8	⊢ (((z = a ∧ w = b) ∧ (v = c ∧ u = d)) → (φ ↔ ψ))
oprec.9	⊢ (((z = g ∧ w = h) ∧ (v = t ∧ u = s)) → (φ ↔ χ))
oprec.10	⊢ G = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ (S × S) ∧ y ∈ (S × S)) ∧ ∃w∃v∃u∃f((x = ⟨w, v⟩ ∧ y = ⟨u, f⟩) ∧ z = J))}
oprec.11	⊢ (((w = a ∧ v = b) ∧ (u = g ∧ f = h)) → J = K)
oprec.12	⊢ (((w = c ∧ v = d) ∧ (u = t ∧ f = s)) → J = L)
oprec.13	⊢ (((w = A ∧ v = B) ∧ (u = C ∧ f = D)) → J = H)
oprec.14	⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ∧ ∃a∃b∃c∃d((x = [⟨a, b⟩]R ∧ y = [⟨c, d⟩]R) ∧ z = [(⟨a, b⟩G⟨c, d⟩)]R))}
oprec.15	⊢ Q = ((S × S) / R)
oprec.16	⊢ ((((a ∈ S ∧ b ∈ S) ∧ (c ∈ S ∧ d ∈ S)) ∧ ((g ∈ S ∧ h ∈ S) ∧ (t ∈ S ∧ s ∈ S))) → ((ψ ∧ χ) → KRL))

Assertion

Ref	Expression
oprec	⊢ (((A ∈ S ∧ B ∈ S) ∧ (C ∈ S ∧ D ∈ S)) → ([⟨A, B⟩]RF[⟨C, D⟩]R) = [H]R)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h,a,b,c,d,A   x,B,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h,a,b,c,d   x,C,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h,a,b,c,d   x,D,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h,a,b,c,d   x,F,y,z,t,s,g,h,a,b,c,d   x,G,y,z,t,s,g,h,a,b,c,d   x,H,y,z,w,v,u,f   x,J,y,z   x,K,y,z,w,v,u,f   x,L,y,z,w,v,u,f   x,Q,y,z,a,b,c,d   x,R,y,z,t,s,g,h,a,b,c,d   x,S,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h,a,b,c,d   φ,x,y   ψ,z,w,v,u   χ,z,w,v,u

Proof of Theorem oprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprec.4	. . 3 ⊢ R ∈ V
2		oprec.5	. . 3 ⊢ Er R
3		oprec.6	. . 3 ⊢ dom R = (S × S)
4		oprec.16	. . . 4 ⊢ ((((a ∈ S ∧ b ∈ S) ∧ (c ∈ S ∧ d ∈ S)) ∧ ((g ∈ S ∧ h ∈ S) ∧ (t ∈ S ∧ s ∈ S))) → ((ψ ∧ χ) → KRL))
5		oprec.8	. . . . . 6 ⊢ (((z = a ∧ w = b) ∧ (v = c ∧ u = d)) → (φ ↔ ψ))
6		oprec.7	. . . . . 6 ⊢ R = {⟨x, y⟩∣((x ∈ (S × S) ∧ y ∈ (S × S)) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = ⟨z, w⟩ ∧ y = ⟨v, u⟩) ∧ φ))}
7	5, 6	opbrop 2472	. . . . 5 ⊢ (((a ∈ S ∧ b ∈ S) ∧ (c ∈ S ∧ d ∈ S)) → (⟨a, b⟩R⟨c, d⟩ ↔ ψ))
8		oprec.9	. . . . . 6 ⊢ (((z = g ∧ w = h) ∧ (v = t ∧ u = s)) → (φ ↔ χ))
9	8, 6	opbrop 2472	. . . . 5 ⊢ (((g ∈ S ∧ h ∈ S) ∧ (t ∈ S ∧ s ∈ S)) → (⟨g, h⟩R⟨t, s⟩ ↔ χ))
10	7, 9	bi2anan9 478	. . . 4 ⊢ ((((a ∈ S ∧ b ∈ S) ∧ (c ∈ S ∧ d ∈ S)) ∧ ((g ∈ S ∧ h ∈ S) ∧ (t ∈ S ∧ s ∈ S))) → ((⟨a, b⟩R⟨c, d⟩ ∧ ⟨g, h⟩R⟨t, s⟩) ↔ (ψ ∧ χ)))
11		oprec.2	. . . . . . 7 ⊢ K ∈ V
12		oprec.11	. . . . . . 7 ⊢ (((w = a ∧ v = b) ∧ (u = g ∧ f = h)) → J = K)
13		oprec.10	. . . . . . 7 ⊢ G = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ (S × S) ∧ y ∈ (S × S)) ∧ ∃w∃v∃u∃f((x = ⟨w, v⟩ ∧ y = ⟨u, f⟩) ∧ z = J))}
14	11, 12, 13	oprabval3 3052	. . . . . 6 ⊢ (((a ∈ S ∧ b ∈ S) ∧ (g ∈ S ∧ h ∈ S)) → (⟨a, b⟩G⟨g, h⟩) = K)
15		oprec.3	. . . . . . 7 ⊢ L ∈ V
16		oprec.12	. . . . . . 7 ⊢ (((w = c ∧ v = d) ∧ (u = t ∧ f = s)) → J = L)
17	15, 16, 13	oprabval3 3052	. . . . . 6 ⊢ (((c ∈ S ∧ d ∈ S) ∧ (t ∈ S ∧ s ∈ S)) → (⟨c, d⟩G⟨t, s⟩) = L)
18	14, 17	breqan12d 2074	. . . . 5 ⊢ ((((a ∈ S ∧ b ∈ S) ∧ (g ∈ S ∧ h ∈ S)) ∧ ((c ∈ S ∧ d ∈ S) ∧ (t ∈ S ∧ s ∈ S))) → ((⟨a, b⟩G⟨g, h⟩)R(⟨c, d⟩G⟨t, s⟩) ↔ KRL))
19	18	an4s 390	. . . 4 ⊢ ((((a ∈ S ∧ b ∈ S) ∧ (c ∈ S ∧ d ∈ S)) ∧ ((g ∈ S ∧ h ∈ S) ∧ (t ∈ S ∧ s ∈ S))) → ((⟨a, b⟩G⟨g, h⟩)R(⟨c, d⟩G⟨t, s⟩) ↔ KRL))
20	4, 10, 19	3imtr4d 421	. . 3 ⊢ ((((a ∈ S ∧ b ∈ S) ∧ (c ∈ S ∧ d ∈ S)) ∧ ((g ∈ S ∧ h ∈ S) ∧ (t ∈ S ∧ s ∈ S))) → ((⟨a, b⟩R⟨c, d⟩ ∧ ⟨g, h⟩R⟨t, s⟩) → (⟨a, b⟩G⟨g, h⟩)R(⟨c, d⟩G⟨t, s⟩)))
21		oprec.14	. . . 4 ⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ∧ ∃a∃b∃c∃d((x = [⟨a, b⟩]R ∧ y = [⟨c, d⟩]R) ∧ z = [(⟨a, b⟩G⟨c, d⟩)]R))}
22		oprec.15	. . . . . . . 8 ⊢ Q = ((S × S) / R)
23	22	eleq2i 1153	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ Q ↔ x ∈ ((S × S) / R))
24	22	eleq2i 1153	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ Q ↔ y ∈ ((S × S) / R))
25	23, 24	anbi12i 369	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ↔ (x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)))
26	25	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ∧ ∃a∃b∃c∃d((x = [⟨a, b⟩]R ∧ y = [⟨c, d⟩]R) ∧ z = [(⟨a, b⟩G⟨c, d⟩)]R)) ↔ ((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃a∃b∃c∃d((x = [⟨a, b⟩]R ∧ y = [⟨c, d⟩]R) ∧ z = [(⟨a, b⟩G⟨c, d⟩)]R)))
27	26	bioprabi 3027	. . . 4 ⊢ {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ∧ ∃a∃b∃c∃d((x = [⟨a, b⟩]R ∧ y = [⟨c, d⟩]R) ∧ z = [(⟨a, b⟩G⟨c, d⟩)]R))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃a∃b∃c∃d((x = [⟨a, b⟩]R ∧ y = [⟨c, d⟩]R) ∧ z = [(⟨a, b⟩G⟨c, d⟩)]R))}
28	21, 27	eqtr 1119	. . 3 ⊢ F = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃a∃b∃c∃d((x = [⟨a, b⟩]R ∧ y = [⟨c, d⟩]R) ∧ z = [(⟨a, b⟩G⟨c, d⟩)]R))}
29	1, 2, 3, 20, 28	th3q 3253	. 2 ⊢ (((A ∈ S ∧ B ∈ S) ∧ (C ∈ S ∧ D ∈ S)) → ([⟨A, B⟩]RF[⟨C, D⟩]R) = [(⟨A, B⟩G⟨C, D⟩)]R)
30		oprec.1	. . . 4 ⊢ H ∈ V
31		oprec.13	. . . 4 ⊢ (((w = A ∧ v = B) ∧ (u = C ∧ f = D)) → J = H)
32	30, 31, 13	oprabval3 3052	. . 3 ⊢ (((A ∈ S ∧ B ∈ S) ∧ (C ∈ S ∧ D ∈ S)) → (⟨A, B⟩G⟨C, D⟩) = H)
33		eceq2 3215	. . 3 ⊢ ((⟨A, B⟩G⟨C, D⟩) = H → [(⟨A, B⟩G⟨C, D⟩)]R = [H]R)
34	32, 33	syl 12	. 2 ⊢ (((A ∈ S ∧ B ∈ S) ∧ (C ∈ S ∧ D ∈ S)) → [(⟨A, B⟩G⟨C, D⟩)]R = [H]R)
35	29, 34	eqtrd 1128	1 ⊢ (((A ∈ S ∧ B ∈ S) ∧ (C ∈ S ∧ D ∈ S)) → ([⟨A, B⟩]RF[⟨C, D⟩]R) = [H]R)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  {copab 2055   × cxp 2408  dom cdm 2410  (class class class)co 3001  {copab2 3002  Er wer 3197  [cec 3198   / cqs 3199

This theorem is referenced by:  addpipq 3848  mulpipq 3849  addsrpr 3978  mulsrpr 3979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205

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