Theorem opreqan12d 3015

Description: Equality deduction for operations.

Hypotheses

Ref	Expression
opreq1d.1	⊢ (φ → A = B)
opreqan12i.2	⊢ (ψ → C = D)

Assertion

Ref	Expression
opreqan12d	⊢ ((φ ∧ ψ) → (AFC) = (BFD))

Proof of Theorem opreqan12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq12 3008	. 2 ⊢ ((A = B ∧ C = D) → (AFC) = (BFD))
2		opreq1d.1	. 2 ⊢ (φ → A = B)
3		opreqan12i.2	. 2 ⊢ (ψ → C = D)
4	1, 2, 3	syl2an 349	1 ⊢ ((φ ∧ ψ) → (AFC) = (BFD))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  opreqan12rd 3016  ecoprdi 3257  distrpi 3820  addcmpblnq 3846  addpipq 3848  reclem3pr 3952  mulsrpr 3979  1idsr 4001  mulcnsr 4048  divmuldivt 4263  osumlem2 5531  pjv 5589  strlem3a 5693

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org