Theorem oprssdm 3056

Description: Domain of closure of an operation.

Hypotheses

Ref	Expression
oprssdm.1	⊢ ¬ ∅ ∈ S
oprssdm.2	⊢ ((x ∈ S ∧ y ∈ S) → (xFy) ∈ S)

Assertion

Ref	Expression
oprssdm	⊢ (S × S) ⊆ dom F

Distinct variable group(s):   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem oprssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 2486	. 2 ⊢ Rel (S × S)
2		visset 1350	. . . 4 ⊢ y ∈ V
3	2	opelxp 2452	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (S × S) ↔ (x ∈ S ∧ y ∈ S))
4		ndmfv 2848	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨x, y⟩ ∈ dom F → (F ‘⟨x, y⟩) = ∅)
5		df-opr 3003	. . . . . . 7 ⊢ (xFy) = (F ‘⟨x, y⟩)
6	5	cleq1i 1108	. . . . . 6 ⊢ ((xFy) = ∅ ↔ (F ‘⟨x, y⟩) = ∅)
7		oprssdm.1	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ S
8		eleq1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((xFy) = ∅ → ((xFy) ∈ S ↔ ∅ ∈ S))
9	7, 8	mtbiri 539	. . . . . . 7 ⊢ ((xFy) = ∅ → ¬ (xFy) ∈ S)
10		oprssdm.2	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ S ∧ y ∈ S) → (xFy) ∈ S)
11	9, 10	nsyl 102	. . . . . 6 ⊢ ((xFy) = ∅ → ¬ (x ∈ S ∧ y ∈ S))
12	6, 11	sylbir 176	. . . . 5 ⊢ ((F ‘⟨x, y⟩) = ∅ → ¬ (x ∈ S ∧ y ∈ S))
13	4, 12	syl 12	. . . 4 ⊢ (¬ ⟨x, y⟩ ∈ dom F → ¬ (x ∈ S ∧ y ∈ S))
14	13	a3i 69	. . 3 ⊢ ((x ∈ S ∧ y ∈ S) → ⟨x, y⟩ ∈ dom F)
15	3, 14	sylbi 174	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (S × S) → ⟨x, y⟩ ∈ dom F)
16	1, 15	relssi 2481	1 ⊢ (S × S) ⊆ dom F

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ⟨cop 1810   × cxp 2408  dom cdm 2410   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001

This theorem is referenced by:  dmaddpq 3853  dmmulpq 3855  dmaddsr 3988  dmmulsr 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org