Theorem orbidi 510

Description: Disjunction distributes over the biconditional. An axiom of system DS in Vladimir Lifschitz, "On calculational proofs" (1998), http://citeseer.lcs.mit.edu/lifschitz98calculational.html.

Assertion

Ref	Expression
orbidi	⊢ ((φ ∨ (ψ ↔ χ)) ↔ ((φ ∨ ψ) ↔ (φ ∨ χ)))

Proof of Theorem orbidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 225	. . . . 5 ⊢ (φ → (φ ∨ χ))
2	1	a1d 14	. . . 4 ⊢ (φ → ((φ ∨ ψ) → (φ ∨ χ)))
3		orc 225	. . . . 5 ⊢ (φ → (φ ∨ ψ))
4	3	a1d 14	. . . 4 ⊢ (φ → ((φ ∨ χ) → (φ ∨ ψ)))
5	2, 4	impbid 397	. . 3 ⊢ (φ → ((φ ∨ ψ) ↔ (φ ∨ χ)))
6		id 9	. . . 4 ⊢ ((ψ ↔ χ) → (ψ ↔ χ))
7	6	orbi2d 466	. . 3 ⊢ ((ψ ↔ χ) → ((φ ∨ ψ) ↔ (φ ∨ χ)))
8	5, 7	jaoi 275	. 2 ⊢ ((φ ∨ (ψ ↔ χ)) → ((φ ∨ ψ) ↔ (φ ∨ χ)))
9		pm2.85 439	. . . 4 ⊢ (((φ ∨ ψ) → (φ ∨ χ)) → (φ ∨ (ψ → χ)))
10		pm2.85 439	. . . 4 ⊢ (((φ ∨ χ) → (φ ∨ ψ)) → (φ ∨ (χ → ψ)))
11	9, 10	anim12i 268	. . 3 ⊢ ((((φ ∨ ψ) → (φ ∨ χ)) ∧ ((φ ∨ χ) → (φ ∨ ψ))) → ((φ ∨ (ψ → χ)) ∧ (φ ∨ (χ → ψ))))
12		bi 396	. . 3 ⊢ (((φ ∨ ψ) ↔ (φ ∨ χ)) ↔ (((φ ∨ ψ) → (φ ∨ χ)) ∧ ((φ ∨ χ) → (φ ∨ ψ))))
13		bi 396	. . . . 5 ⊢ ((ψ ↔ χ) ↔ ((ψ → χ) ∧ (χ → ψ)))
14	13	orbi2i 214	. . . 4 ⊢ ((φ ∨ (ψ ↔ χ)) ↔ (φ ∨ ((ψ → χ) ∧ (χ → ψ))))
15		ordi 452	. . . 4 ⊢ ((φ ∨ ((ψ → χ) ∧ (χ → ψ))) ↔ ((φ ∨ (ψ → χ)) ∧ (φ ∨ (χ → ψ))))
16	14, 15	bitr 151	. . 3 ⊢ ((φ ∨ (ψ ↔ χ)) ↔ ((φ ∨ (ψ → χ)) ∧ (φ ∨ (χ → ψ))))
17	11, 12, 16	3imtr4 192	. 2 ⊢ (((φ ∨ ψ) ↔ (φ ∨ χ)) → (φ ∨ (ψ ↔ χ)))
18	8, 17	impbi 139	1 ⊢ ((φ ∨ (ψ ↔ χ)) ↔ ((φ ∨ ψ) ↔ (φ ∨ χ)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198

metamath.org