Theorem ord0eln0 2278

Description: A non-empty ordinal contains the empty set.

Assertion

Ref	Expression
ord0eln0	⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ ¬ A = ∅))

Proof of Theorem ord0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 1712	. . 3 ⊢ (∅ ∈ A → ¬ A = ∅)
2	1	a1i 7	. 2 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A → ¬ A = ∅))
3		ord0 2276	. . . 4 ⊢ Ord ∅
4		noel 1711	. . . . 5 ⊢ ¬ A ∈ ∅
5		ordtri2 2233	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ∧ Ord ∅) → (A ∈ ∅ ↔ ¬ (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A)))
6	5	bicon2d 404	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ Ord ∅) → ((A = ∅ ∨ ∅ ∈ A) ↔ ¬ A ∈ ∅))
7	4, 6	mpbiri 169	. . . 4 ⊢ ((Ord A ∧ Ord ∅) → (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A))
8	3, 7	mpan2 519	. . 3 ⊢ (Ord A → (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A))
9	8	ord 202	. 2 ⊢ (Ord A → (¬ A = ∅ → ∅ ∈ A))
10	2, 9	impbid 397	1 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ ¬ A = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  on0eln0 2279  dflim2 2280  0ellim 2285  0elsuc 2340  nnmord 3189  elni2 3799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

metamath.org