Theorem ordelord 2221

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
ordelord	⊢ ((Ord A ∧ B ∈ A) → Ord B)

Proof of Theorem ordelord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . 5 ⊢ (x = B → (x ∈ A ↔ B ∈ A))
2	1	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ (x = B → ((Ord A ∧ x ∈ A) ↔ (Ord A ∧ B ∈ A)))
3		ordeq 2206	. . . 4 ⊢ (x = B → (Ord x ↔ Ord B))
4	2, 3	imbi12d 474	. . 3 ⊢ (x = B → (((Ord A ∧ x ∈ A) → Ord x) ↔ ((Ord A ∧ B ∈ A) → Ord B)))
5		wetrep 2194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((E We A ∧ (z ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A)) → ((z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ x))
6		ordwe 2212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Ord A → E We A)
7	5, 6	sylan 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord A ∧ (z ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A)) → ((z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ x))
8		pm3.26 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → Ord A)
9	8	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Ord A ∧ x ∈ A) ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)) → Ord A)
10		ordtr 2213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Ord A → Tr A)
11		trel3 2049	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Tr A → ((z ∈ y ∧ y ∈ x ∧ x ∈ A) → z ∈ A))
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord A → ((z ∈ y ∧ y ∈ x ∧ x ∈ A) → z ∈ A))
13		3anrot 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ A ∧ z ∈ y ∧ y ∈ x) ↔ (z ∈ y ∧ y ∈ x ∧ x ∈ A))
14		3anass 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ A ∧ z ∈ y ∧ y ∈ x) ↔ (x ∈ A ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)))
15	13, 14	bitr3 153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ y ∧ y ∈ x ∧ x ∈ A) ↔ (x ∈ A ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)))
16	12, 15	syl5ibr 182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord A → ((x ∈ A ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)) → z ∈ A))
17	16	exp3a 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord A → (x ∈ A → ((z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ A)))
18	17	imp31 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Ord A ∧ x ∈ A) ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)) → z ∈ A)
19		trel 2048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Tr A → ((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
20	10, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Ord A → ((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
21	20	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord A → (y ∈ x → (x ∈ A → y ∈ A)))
22	21	com23 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Ord A → (x ∈ A → (y ∈ x → y ∈ A)))
23	22	imp31 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Ord A ∧ x ∈ A) ∧ y ∈ x) → y ∈ A)
24	23	adantrl 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Ord A ∧ x ∈ A) ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)) → y ∈ A)
25		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → x ∈ A)
26	25	adantr 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Ord A ∧ x ∈ A) ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)) → x ∈ A)
27	18, 24, 26	3jca 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Ord A ∧ x ∈ A) ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)) → (z ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A))
28	7, 9, 27	sylanc 361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Ord A ∧ x ∈ A) ∧ (z ∈ y ∧ y ∈ x)) → ((z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ x))
29	28	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → ((z ∈ y ∧ y ∈ x) → ((z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ x)))
30	29	pm2.43d 59	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → ((z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ x))
31	30	19.21aivv 944	. . . . . 6 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → ∀z∀y((z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ x))
32		dftr2 2043	. . . . . 6 ⊢ (Tr x ↔ ∀z∀y((z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ x))
33	31, 32	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → Tr x)
34		trss 2050	. . . . . . . 8 ⊢ (Tr A → (x ∈ A → x ⊆ A))
35	10, 34	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (Ord A → (x ∈ A → x ⊆ A))
36		wess 2188	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ⊆ A → (E We A → E We x))
37	36	com12 13	. . . . . . . 8 ⊢ (E We A → (x ⊆ A → E We x))
38	6, 37	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (Ord A → (x ⊆ A → E We x))
39	35, 38	syld 27	. . . . . 6 ⊢ (Ord A → (x ∈ A → E We x))
40	39	imp 277	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → E We x)
41	33, 40	jca 236	. . . 4 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → (Tr x ∧ E We x))
42		df-ord 2202	. . . 4 ⊢ (Ord x ↔ (Tr x ∧ E We x))
43	41, 42	sylibr 175	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → Ord x)
44	4, 43	vtoclg 1383	. 2 ⊢ (B ∈ A → ((Ord A ∧ B ∈ A) → Ord B))
45	44	anabsi7 379	1 ⊢ ((Ord A ∧ B ∈ A) → Ord B)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581  ∀wal 672   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Tr wtr 2041  Ecep 2056   We wwe 2062  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  ordelon 2222  ordon 2238  ssorduni 2249  ordtr2 2257  ordsuc 2318  ordsucss 2320  ordsucelsuc 2324  limsssuc 2362  ordom 2382  rdglim2 2987

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

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