Theorem ordelsuc 2322

Description: A set belongs to an ordinal iff its successor is a subset of the ordinal. Exercise 8 of [TakeutiZaring] p. 42 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
ordelsuc	⊢ ((A ∈ C ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ⊆ B))

Proof of Theorem ordelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucss 2320	. . 3 ⊢ (Ord B → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
2	1	adantl 305	. 2 ⊢ ((A ∈ C ∧ Ord B) → (A ∈ B → suc A ⊆ B))
3		sucssel 2321	. . 3 ⊢ (A ∈ C → (suc A ⊆ B → A ∈ B))
4	3	adantr 306	. 2 ⊢ ((A ∈ C ∧ Ord B) → (suc A ⊆ B → A ∈ B))
5	2, 4	impbid 397	1 ⊢ ((A ∈ C ∧ Ord B) → (A ∈ B ↔ suc A ⊆ B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Ord word 2198  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  onsucmin 2323  onsucss 2359  tfindsg2 2403  ordgt0ge1 3114  onomeneq 3414  omsucdom 3418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org