Theorem ordeq 2206

Description: Equality theorem for the ordinal predicate.

Assertion

Ref	Expression
ordeq	⊢ (A = B → (Ord A ↔ Ord B))

Proof of Theorem ordeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		treq 2047	. . 3 ⊢ (A = B → (Tr A ↔ Tr B))
2		weeq2 2190	. . 3 ⊢ (A = B → (E We A ↔ E We B))
3	1, 2	anbi12d 476	. 2 ⊢ (A = B → ((Tr A ∧ E We A) ↔ (Tr B ∧ E We B)))
4		df-ord 2202	. 2 ⊢ (Ord A ↔ (Tr A ∧ E We A))
5		df-ord 2202	. 2 ⊢ (Ord B ↔ (Tr B ∧ E We B))
6	3, 4, 5	3bitr4g 428	1 ⊢ (A = B → (Ord A ↔ Ord B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091  Tr wtr 2041  Ecep 2056   We wwe 2062  Ord word 2198

This theorem is referenced by:  elong 2207  limeq 2211  ordelord 2221  ordeleqon 2241  ordsuc 2318  ordun 2332  ordzsl 2366  elom 2375  elomg 2376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202

metamath.org