Theorem ordom 2382

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
ordom	⊢ Ord ω

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 2043	. . 3 ⊢ (Tr ω ↔ ∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ ω) → y ∈ ω))
2		ordelord 2221	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord x ∧ y ∈ x) → Ord y)
3		nnord 2381	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ω → Ord x)
4	2, 3	sylan 343	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ x) → Ord y)
5	4	ancoms 334	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ x ∧ x ∈ ω) → Ord y)
6		trel 2048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr z → ((y ∈ x ∧ x ∈ z) → y ∈ z))
7	6	exp3a 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr z → (y ∈ x → (x ∈ z → y ∈ z)))
8	7	com12 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ x → (Tr z → (x ∈ z → y ∈ z)))
9		limord 2283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim z → Ord z)
10		ordtr 2213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord z → Tr z)
11	9, 10	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Lim z → Tr z)
12	8, 11	syl5 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ x → (Lim z → (x ∈ z → y ∈ z)))
13	12	a2d 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ x → ((Lim z → x ∈ z) → (Lim z → y ∈ z)))
14	13	19.20dv 946	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ x → (∀z(Lim z → x ∈ z) → ∀z(Lim z → y ∈ z)))
15		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ x ∈ V
16	15	elom 2375	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ω ↔ (Ord x ∧ ∀z(Lim z → x ∈ z)))
17	16	pm3.27bd 263	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ω → ∀z(Lim z → x ∈ z))
18	14, 17	syl5 22	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ x → (x ∈ ω → ∀z(Lim z → y ∈ z)))
19	18	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ x ∧ x ∈ ω) → ∀z(Lim z → y ∈ z))
20	5, 19	jca 236	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ x ∧ x ∈ ω) → (Ord y ∧ ∀z(Lim z → y ∈ z)))
21		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
22	21	elom 2375	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ω ↔ (Ord y ∧ ∀z(Lim z → y ∈ z)))
23	20, 22	sylibr 175	. . . 4 ⊢ ((y ∈ x ∧ x ∈ ω) → y ∈ ω)
24	23	ax-gen 677	. . 3 ⊢ ∀x((y ∈ x ∧ x ∈ ω) → y ∈ ω)
25	1, 24	mpgbir 686	. 2 ⊢ Tr ω
26		omsson 2377	. 2 ⊢ ω ⊆ On
27		ordon 2238	. 2 ⊢ Ord On
28		trssord 2216	. 2 ⊢ ((Tr ω ∧ ω ⊆ On ∧ Ord On) → Ord ω)
29	25, 26, 27, 28	mp3an 642	1 ⊢ Ord ω

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  Tr wtr 2041  Ord word 2198  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  ωcom 2372

This theorem is referenced by:  elnn 2383  omon 2384  limom 2387  peano5 2394  ssnlim 2407  nnarcl 3174  onomeneq 3414  ominf 3423  omsdomnn 3424  alephgeom 3687  iscard3 3693

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-om 2373

metamath.org